大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1992年多元复合函数的求导法则)

计算题（1992年理工数学Ⅰ）

设z=f(e^x siny,x²+y²)，其中f具有二阶连续偏导数，求∂²z/∂x∂y.

答案解析

由复合函数求导法得∂z/∂x=f1' ∂/∂x (ex siny)+f2' ∂/∂x (x2+y2 )=f1'∙ex siny+f2'∙2x ,∂2 z/∂x∂y=∂/∂y(f1'∙ex siny+f2'∙2x) =(f11'' ex cosy...

查看完整答案

讨论

大学数学

求⁡(ex-sinx-1)/(1-).

要使ξ1=,ξ2=都是方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为【】

设f(x)=3x3+x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高阶n为【】

在曲线x=t,y=-t2,z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线是【】

级数(-1)n(1-cos⁡ α/n)(常数α>0)【】

当x→1时，函数(x2-1)/(x-1) e1/(x-1)的极限【】

设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E(X+e-2X )=__________.

已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6，则事件A,B,C全不发生的概率为__________.

设A=，其中a_i≠0,b≠0(i=1,2,⋯,n)，则矩阵A的秩r(A)=________.

微分方程y'+ytanx=cosx的通解为y=________________.

多元函数微分法

求函数f(x,y) = 2ln⁡|x| + 的极值.

若f(x,y)在区域D内对x和y都是连续的，则f(x,y)对(x,y)D为二元连续.

设x(y),z(y)是由方程组所确定的隐函数，求x'(y),z'(y).

已知一个二元实变函数：z=f(x,y)=sin2x - sinx∙cosy+cos2y;[其中，(x,y)∈全平面].(1)求出函数z=f(x,y)在其定义域里的最小值：zmin=？并指出在其定义域何点处，函数z=f(x,y)获得最小值zmin？(2)求出函数z=f(x,y)在其定义域里的最大值：zmax=？并指出在其定义域何点处，函数z=f(x,y)取得最大值zmax？提示：首先，可作变量变换：X=sinx,Y=cosy；然后，考虑关于X和Y的二元实变函数z=F(X,Y).

求函数f(x,y)=1/2(xn+yn)（n是正整数）在条件x+y=a（x≥0,y≥0，常数a>0）下的极值.

设参数方程x=f'(t),y=tf'(t)-f(t)，其中函数f(t)可以求导足够次数，求一阶导数dy/dx和二阶导数d2y/dx2.

设f,g为连续可微函数，u=f(x,xy),v=g(x+xy)，求∂u/∂x∙∂v/∂x

设u=yf(x/y)+xg(y/x)，其中函数f,g具有二阶连续导数，求x ∂2u/∂x2+y ∂2u/∂x∂y .

设z=f(2x-y)+g(x,xy)，其中函数f(t)二阶可导，g(u,v)具有连续的二阶偏导数，求∂2z/∂x∂y.

设z=f(2x-y,ysinx)，其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数，求∂2z/∂x∂y.

多元复合函数的求导法则

设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足方程∂2z/∂x2+∂2z/∂y2=e2x z,求f(u).

设u(x,y,z)=，证明：d2u≥0.

设z=1/x f(xy)+yφ(x+y),f,φ具有二阶连续导数，则∂2z/∂x∂y=________________.

设4阶方阵A=，则A的逆矩阵A-1=____________.

已知级数(-1)n an=2,a2n-1 =5，则an 等于【】

设D是xOy平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则∬D(xy+cosxsiny)dxdy等于【】

求∭Ω(x2+y2+z)dV，其中Ω是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体.

已知α1=(1,0,2,3),α2=(1,1,3,5),α3=(1,-1,a+2,1),α4=(1,2,4,a+8)及β=(1,1,b+3,5).(1) a,b为何值时，β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合？(2) a,b为何值时，β有α1,α2,α3,α4的唯一线性表示？并写出该表示式.

设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵，证明A+E的行列式大于1.

二次型f(x1,x2,x3 ) = (x1 + x2)2 + (x2 + x3)2 - (x3 - x1)2的正惯性指数依次为【】