大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1992年方向导数与梯度)

填空题（1992年理工数学Ⅰ）

函数u=ln⁡(x²+y²+z²)在点M(1,2,-2)处的梯度 gradu|_M=__________.

答案解析

2/9 (1,2,-2)

讨论

大学数学

设函数y=y(x)由方程ex+y+cos⁡(xy)=0确定，则dy/dx=__________.

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=，求随机变量Z=X+2Y的分布函数.

在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵，证明A+E的行列式大于1.

已知α1=(1,0,2,3),α2=(1,1,3,5),α3=(1,-1,a+2,1),α4=(1,2,4,a+8)及β=(1,1,b+3,5).(1) a,b为何值时，β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合？(2) a,b为何值时，β有α1,α2,α3,α4的唯一线性表示？并写出该表示式.

设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3f(x)dx=f(0)，证明：在(0,1)内存在一点c，使f'(c)=0.

将函数f(x)=2+|x|(-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数1/n2 的和.

求过曲线y=-x2+1上的一点，使过该点的切线与这条曲线及x,y轴在第一象限围成图形的面积最小，最小面积是多少？

求微分方程y''+2y'+y=xex的通解（一般解）.

求微分方程x dy/dx=x-y满足条件 y|x=√2 =0的解.

多元函数微分法

设参数方程x=f'(t),y=tf'(t)-f(t)，其中函数f(t)可以求导足够次数，求一阶导数dy/dx和二阶导数d2y/dx2.

设f,g为连续可微函数，u=f(x,xy),v=g(x+xy)，求∂u/∂x∙∂v/∂x

设u=yf(x/y)+xg(y/x)，其中函数f,g具有二阶连续导数，求x ∂2u/∂x2+y ∂2u/∂x∂y .

设z=f(2x-y)+g(x,xy)，其中函数f(t)二阶可导，g(u,v)具有连续的二阶偏导数，求∂2z/∂x∂y.

设z=f(2x-y,ysinx)，其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数，求∂2z/∂x∂y.

xy (3x-4y)/(x2+y2)

设函数f(x,y)可微，且f(x+1,ex)=x(x+1)2 , f(x,x2)=2x2lnx，则df(1,1)=【】

已知f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内，fx(x,y)连续，fy(x0,y0)存在，证明：f(x,y)在(x0,y0)可微.

已知曲面z=4-x2-y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0，则点P的坐标是【】

设n是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数u=/z在点P处沿方向n的方向导数.

方向导数与梯度

设f(x,y)=，问：f(x,y)在(0,0)处连续吗？方向可导吗？可微吗？

设R3上的函数u具有二阶连续偏导数，且不恒为常数，并满足方程∆u+u5=0,∆=∂2/(∂x2 )+∂2/(∂y2 )+∂2/(∂z2 ).令uλ (x,y,z)=λα u(λx,λy,λz),α是某非零常数，使得对任意的λ>0，函数uλ都满足Δuλ+uλ5=0.(1)求常数α；(2)若积分|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz收敛，则对任意的λ>0，以下等式成立：|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz=|∇u(x,y,z)|2 dxdydz,这里∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z);(3)假设D是R3中的一个有界光滑曲面∂D围成的区域，且 u|∂D=0，证明：∫D|u(x,y,z)|6 dxdydz=∫D|∇u(x,y,z)|2 dxdydz.

函数f(x,y)=x2+2y2在(0,1)的最大方向导数为______.

函数u=ln⁡(x+)在A(1,0,1)处沿A点指向B(3,-2,2)点方向的方向导数为________.

求正的常数a与b，使等式1/(bx-sinx)t2/dt=1成立.

设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B，其中A=，求矩阵B.

求微分方程y'''+6y''+(9+a2) y'=1的通解，其中常数a>0.

求幂级数1/(n∙2n) xn-1的收敛域，并求其和函数.

计算曲面积分I=∬∑x(8y+1)dydz+2(1-y2 )dxdz-4yzdxdy,其中∑是由曲线(1≤y≤3)绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于π/2.

问a,b为何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷解？并求出有无穷解时的通解.