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计算题(1987年高等数学一

求微分方程y'''+6y''+(9+a2) y'=1的通解,其中常数a>0.

参考答案

关键词

微分方程;数学;特征;系数;线性;常数;通解;次方;cosax;常系数齐次线性微分方程;

证明方程dx/dt=Ax(A为n×n实矩阵)有以ω(ω≠0)为周期的周期解的充要条件是系数矩阵A至少有一个形如i 2πμ/ω的特征根,其中μ为整数。

北京大学齐次微分方程

设y=φ(x)满足微分不等式dy/dx+a(x)y≤0 其中函数a(x)在x≥0上连续,证明:φ(x)≤φ(0) ,(x≥0).

证明微分方程初值问题:的解在α<t<β上存在且惟一,其中a(t),b(t)均在区间α<t<β上连续,α<x_0<β,x_0为任意实数。

考虑方程x''+k2 x=f(t),其中k为常数,函数f(t)于0≤t<+∞上连续。(1)当k≠0时求上述方程满足初始条件x(0)=1,x' (0)=-1的解。(2)证明当k=0时上述方程的通解可表示为x=c1+c2 t+(t-s)f(s)ds 其中c1,c2为任意常数。

求解微分方程组的初值问题

给定方程x''+8x'+7x=f(t),其中f(t)在(-∞,+∞)上连续。如果f(t)=0,则上述方程的每一个解当t→+∞时都趋于零。

考虑线性方程组dx/dt=A(t)x+f(t) (1)其中A(t),f(t)以ω为周期,A(t)为n×n的矩阵函数,f(t)为n维向量函数。设x1 (t),x2 (t),…,xn (t)是对应齐次方程组dx/dt=A(t)x (2)的基本解组,满足初始条件:x1 (0)=,x2 (0)=,…,xn (0)= 证明:1.设x=φ(t)是(1)的解,则x=φ(t)是(1)的以ω为周期的周期解的充要条件是φ(0)=φ(ω)。2.对于任何连续的周期函数f(t),f(t)=f(t+ω),方程组(1)有惟一的周期解(周期为ω)的充要条件是矩阵X(ω)=[x1 (ω)…xn (ω)]没有等于1的特征根。

北京大学齐次微分方程

电子科技大学高阶线性微分方程