单项选择题(1987年高等数学一

(f(x)-f(a))/(x-a)2=-1,则在x=a处【 】

A、f(x)的导数存在,且f‘(a)≠0

B、f(x)取得极大值

C、f(x)取得极小值

D、f(x)的导数不存在

参考答案

关键词

导数;数学;存在;中值;定理;应用;函数;极值;知识;函数的极值与最值;

设函数f(x)在开区间(a,b)内存在二阶导数f''(x),且在(a,b)内f''(x)>0,证明:对于任意两点x1,x2∈(a,b),恒有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2.

求函数f(x)=x2/(1+x2 )的极值与拐点,并求拐点处的切线方程.

设函数f(x)在闭区间[a,]连续,f(a)=f(b)=0,f'(a)·f'(b)>0,证明:函数f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点。

已知二元函数z=z(x,y):z(x,y)=1/4[4(tgx+tgy)2 - 12tgx∙tgy - 3],试求:二元函数z=z(x,y)在正方形区域:D ̅:-π/4≤x≤π/4,-π/4≤y≤π/4 里的最大值zmax=?和最小值zmin=?,并指出二元函数z=z(x,y)在闭区域D ̅里何点处取得最大值zmax和最小值zmin?

已知三个关于自变量x的函数:y=f(x),z=g(x),t=h(x),其“函数关系”由如下“隐函数方程组”确定出: (1)确定出y,z,t关于x的单值、连续的函数关系式(解析式):y=f(x)=?,z=g(x)=?,t=h(x)=?及其各函数的定义域{x}=?提示:求解函数方程以及求解其后问题时,令e10/3 - 1=2a,可便于计算分析处理。(2)求出函数y=f(x)的一阶导数:dy/dx=f' (x)=?及其可导区域{x}=?(3)给出函数y=f(x)的图像草图.提示:①首先,寻找出函数f(x)的三个“零点”:xk=?[其中,f(xk )=0;(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”:xl'=?[其中,f' (xl' )=0;(l=1,2)].②然后,考察函数f(x)的渐近性质.③最后,利用①②的结果,便可绘制出函数f(x)的图像草图[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程,可采用(分组分解法)因式分解后再作求解].

两实变量x与y之间存在“变化关系”,且“变化关系”满足方程:e-1/3 x+2y+(e10/3 - 1)∙e-1/3 x+y - ex^3+2x^2-2x =0.(1)确定出y关于x的单值、连续的函数关系式(解析式):y=f(x)=?及其函数f(x)的定义域{x}=?提示:求解函数方程以及求解其后问题时,令:e10/3-1=2a,可便于计算分析处理.(2)求出函数y=f(x)的一阶导数:dy/dx=f'(x)=?及其可导区域{x}=?(3)绘出函数y=f(x)的图像草图.提示:(i)首先寻找出函数f(x)的三个“零点”:xk=? [其中,f(xk )=0,(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”xl[其中,f' (xl' )=0,(l=1,2)](ii)然后,考察函数f(x)的渐近性质: f(x)|x→±∞→?(iii)最后,利用(i)和(ii)的结果,便可绘制出函数y=f(x)的图像草图.[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程,可采用(分组分解法)因式分解后再作求解]

设f(x)=nx(1-x)n(n为自然数),求(1) f(x)在[0,1]上的最大值M(n)={f(x)}.(2)求M(n).

某企业生产某种商品,年产x件时总成本为c(x)=c+dx,年需求量是价格p的线性函数为a-bp(其中a,b,c,d均为常数),试求:(1)利润最大时的产量及最大利润;(2)需求对价格的弹性。

某厂家生产一种产品同时在两个市场上销售,价格分别为P1和P2,销量分别为q1和q2,需求满足下列关系:q1=24-0.2P1;q2=10-0.05P2.成本函数为:C=35+40(q1+q2)试问厂家如何确定两个市场的价格才能使获利最大?最大为多少?

设x0,x1,…,xn为n+1个互异的插值节点,li (x)(i=0,1,…,n)为拉格朗日基本插值多项式(也称为插值基本函数)。证明:(1) li (x)≡1;(2) li (x)xik≡xk.