大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1987年对弧长的曲线积分)

填空题（1987年理工数学Ⅰ）

设L为取正向的圆周x²+y²=9，则曲线积分∮_L(2xy-2y)dx+(x² - 4x)dy=________.

答案解析

-18π

讨论

大学数学

与两直线及(x+1)/1=(y+2)/2=(z-1)/1都平行且过原点的平面方程为______________.

由曲线y=lnx与两条直线y=e+1-x及y=0所围成的平面图形的面积是______.

当x=______时，函数y=x∙2x取得极小值.

求定解问题对应的贝塞尔方程

写出定解问题的解的表示 ,S:x2+y2+x2=1.

求边值问题的固有值和固有函数

求方程uxx+6uxy-7uyy=0的通解。

设有一根具有绝热的侧表面的均匀细杆，它的初始温度为φ(x)，在一端有热流密度q1进入，另一端与温度为θ(t)的介质有热交换。写出定解问题。

试将函数f(z)=1/(1+z2 )在区域1<|z|<+∞中展开为罗朗级数。

试将函数f(z)=1/(1+z2 )在区域2<|z-i|<+∞中展开为罗朗级数。

曲线积分与曲面积分

设曲面：z=z(x,y)=x4+1/2 (√5-4y)∙x2+y2，柱壁面：y=x2-5/9，圆柱体：x2+y2≤1，在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”：G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”：，[t∈T；(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”：L=？提示：(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面：y=x2-5/9与圆柱面：x2+y2=1满足相交或满足相切？[不定积分公式：∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

设曲面：z=z(x,y)=(y-x2)2+√5/2 x2，柱壁面：9y-9x2+5=0，圆柱体：x2+y2≤1，在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”：G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”：，[t∈T；(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”：L=？提示：(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面：y=x2-5/9与圆柱面：x2+y2=1满足相交或满足相切？[不定积分公式：∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

已知S:(x-5)2+2y2+2(z+1)2=3，方向取外侧，计算∬S((x-5)dydz+ydzdx+zdxdy)/[(x-5)2+y2+z2 ](3/2)

设S是x2+y2+z2=1的外侧，计算∬Sx(x2+1)dydz+y(y2+2)dzdx+z(z2+3)dxdy

求第二类曲线积分∫Ly/(x2+y2)dx-x/(x2+y2)dy，其中L为椭圆x2+1+4y2-4x=0，方向为逆时针.

设S是单位球面x²+y²+z²=1被锥z>所截部分曲面，定向取球外侧为正向，则对于F=(xy+cosz)i+(-xy-x² )j+(x+2z²)k，曲面积分∬SFdS=________.

设D由y=sinπx(0≤x≤1)与x轴转成，则D绕x旋转的旋转体体积为__________.

设有界区域D是圆x2 + y2 = 1和直线y=x以及x轴在第一象限围成的部分，计算二重积分(x2 - y2)dxdy.

计算(sin⁡(x3y)+x2y)dxdy，其中D由y=x3,y=-1和x=1围成的有限闭区域.

设Γ是上半球面x2+y2+z2=R2 (z≥0)上的光滑曲线，起点和终点分别在平面z=0,z=R/2上，曲线的切线与z轴正方向的夹角为常数α∈(0,π/6)，求曲线Γ的长度.

对弧长的曲线积分

计算积分x3 J0 (x)dx

设F=yz(2x+y+z)i+xz(x+2y+z)j+xy(x+y+2z)k.求：F沿螺线r=acost∙i+asint∙j+bt∙k的一段（t:0→π/4）所作的功.

求I=∫L[exsiny-b(x+y)]dx+(excosy-ax)dy，其中a,b为常数，L为从点A(2a,0)沿曲线y=到点O(0,0)的弧.

求∫Cx2ds，其中C为x2+y2+z2=a2 (a>0)与z=的交线.

计算积分∬SzdS，其中S为曲面x2+z2=2az(a>0)被曲面z=所截的部分.

设D⊂R2是有界单连通闭区域，I(D)=(4-x2-y2)dxdy取得最大值的积分区域记为D1.(1) 求I(D1 )的值.(2) 计算，其中∂D1是D1的正向边界.

计算曲线积分∮C(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz，其中C是曲线从z轴正向往z轴负向看，C的方向是顺时针的.

设L为椭圆x2/4+y2/3=1，其周长记为a，则∮L(2xy+3x2+4y2)ds=__________.

设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关，并且对任意t恒有2xydx+Q(x,y)dy=2xydx+Q(x,y)dy，求Q(x,y).

设曲线积分∫L[f(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy与路径无关，共中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于【】