大学数学-考研试题(复旦大学 2023年对面积的曲面积分)

填空题（2023年复旦大学）

设S是单位球面x²+y²+z²=1被锥z>所截部分曲面，定向取球外侧为正向，则对于F=(xy+cosz)i+(-xy-x² )j+(x+2z²)k，曲面积分∬_SFdS=________.

答案解析

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讨论

大学数学

设x,t>0，则含参变量积分I(t)=(e-x -e-xt)/x dx=________.

在Oxy平面上给定点O(0,0),A(1,0)，动点P(x,y)在直线y=x+1上,则当P(x,y)=________时，∠OPA取到最大.

设矩阵A满足：对任意x1,x2,x3均有A=(1)求A.(2)求可逆矩阵P与对角矩阵A，使得P-1AP=Λ.

设平面有界区域D位于第一象限，由曲线x2+y2-xy=1,x2+y2-xy=2与直线y=√3 x,y=0围成，计算∬D1/(3x2+y2 ) dxdy.

已知平面区域D={(x,y)|0≤y≤1/(x),x≥1}.(1)求D的面积；(2)求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.

求函数f(xy)=xecosy+x2/2的极值.

设曲线L:y=y(x)(x>e)经过点(e2,0)，L上任一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距.(Ⅰ)求y(x)；(Ⅱ)在L上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积最小，并求此最小面积.

已知线性方程组有解，其中a,b为常数.若=4，则=__________.

曲线3x3=y5+2y3在x=1对应点处的法线斜率为__________.

设函数z=z(x,y)由ez+xz=2x-y确定，则∂2z/∂x2|(1,1)=________.

对面积的曲面积分

设Σ为空间区域{(x,y,z)|x2 + 4y2≤4,0≤z≤2}表面的外侧，则曲面积分∬Σx2dydz + y2dzdx + z2dxdy=______.

f(x)满足∫f(x)/dx = 1/6·x2 - x + C,L为曲线y=f(x)(4≤x≤9),L的弧长为s,L绕x轴旋转一周所形成的曲面的面积为A，求s和A.

曲线(x2 + y2)2 = x2 - y2 (x≥0,y≥0)与x轴围成的区域为D，求xydxdy.

设有界区域D是圆x2 + y2 = 1和直线y=x以及x轴在第一象限围成的部分，计算二重积分(x2 - y2)dxdy.

计算(sin⁡(x3y)+x2y)dxdy，其中D由y=x3,y=-1和x=1围成的有限闭区域.

计算：∮cdz/((z2+1)(z2+z+1))，其中c:为|z|<1.

计算sinx/x dxdy，其中D是由直线y=x以及抛物线y=x2围成的区域。

计算∬Dxdxdy，其中D是以O(0,0),A(1,2),B(2,1)为顶点的三角形区域。

计算第二型曲面积分x(x2+1)dydz+y(y2+2)dzdx+z(z2+3)dxdy其中Σ为球面x2+y2+z2=1的外侧.

由曲线y=y(x)=(-√3<x≤0)和射线y=-√3 x(x≤0)，以及由曲线y=y(x)=(-√3<x≤0)和射线y=-√3 x(x≤0)，直线x=-√3围成了两块平面图形F1和F2（其中，F1的边界长度为有限值，而F2的边界长度为无穷大）.(1)计算出平面图形F1的面积S1=？(2)计算出平面图形F2的面积S2=？提示：采用平面极坐标(r,θ)作计算较为简单.[不定积分公式：∫tg2θdθ=tgθ-θ+C可直接引用]

曲线积分与曲面积分

设D⊂R2是有界单连通闭区域，I(D)=(4-x2-y2)dxdy取得最大值的积分区域记为D1.(1) 求I(D1 )的值.(2) 计算，其中∂D1是D1的正向边界.

设D由y=sinπx(0≤x≤1)与x轴转成，则D绕x旋转的旋转体体积为__________.

设Γ是上半球面x2+y2+z2=R2 (z≥0)上的光滑曲线，起点和终点分别在平面z=0,z=R/2上，曲线的切线与z轴正方向的夹角为常数α∈(0,π/6)，求曲线Γ的长度.

计算积分x3 J0 (x)dx

设F=yz(2x+y+z)i+xz(x+2y+z)j+xy(x+y+2z)k.求：F沿螺线r=acost∙i+asint∙j+bt∙k的一段（t:0→π/4）所作的功.

设曲面：z=z(x,y)=x4+1/2 (√5-4y)∙x2+y2，柱壁面：y=x2-5/9，圆柱体：x2+y2≤1，在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”：G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”：，[t∈T；(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”：L=？提示：(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面：y=x2-5/9与圆柱面：x2+y2=1满足相交或满足相切？[不定积分公式：∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

设曲面：z=z(x,y)=(y-x2)2+√5/2 x2，柱壁面：9y-9x2+5=0，圆柱体：x2+y2≤1，在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”：G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”：，[t∈T；(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”：L=？提示：(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面：y=x2-5/9与圆柱面：x2+y2=1满足相交或满足相切？[不定积分公式：∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

计算第二型曲面积分∬S,其中S是下半球面z=-的下侧，a>0是常数.

设L为取正向的圆周x2+y2=9，则曲线积分∮L(2xy-2y)dx+(x2 - 4x)dy=________.

计算曲面积分I=∬∑x(8y+1)dydz+2(1-y2 )dxdz-4yzdxdy,其中∑是由曲线(1≤y≤3)绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于π/2.