大学数学-考博试题(东北财经大学 2003年对面积的曲面积分)

计算题（2003年东北财经大学）

计算∬_Dxdxdy，其中D是以O(0,0),A(1,2),B(2,1)为顶点的三角形区域。

答案解析

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讨论

大学数学

试求由曲线y=ex下方，经过坐标原点作y=ex的切线的左侧以及x轴上方构成的图形面积。

已知z=arctan (x+y)/(x-y)，求dz.

计算(1+xex)1/x

若事件A、B独立，则A、B至少有一个发生的概率表示为【】

A为4阶方阵，且|A|=-2，则||A|A|=【】

∫e(x)dx=F(x)+c，则∫e-xf(e-x)dx= 【】

x∙cos(1/x)= 【】

若随机变量X服从参数λ=1的指数分布，则P(-2<x<2)=__________。

A为4阶方阵，其特征值为-1,1,2,3，A*为A的伴随矩阵，则|A*|=__________。

方阵A=，而n≥2为整数，则A2-2An-1=__________。

对面积的曲面积分

计算 ∬∑x3dydz，其中∑: x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 =1,z≥0，取外侧.

已知S={(x,y,z)│x2+4y2+9z2=1,z≤0}取下侧，求∬S(yez+x)dydz+(zex+y)dzdx+(xcosxy+z)dxdy

已知S:(x-5)2+2y2+2(z+1)2=3，方向取外侧，计算∬S((x-5)dydz+ydzdx+zdxdy)/[(x-5)2+y2+z2 ](3/2)

设S是x2+y2+z2=1的外侧，计算∬Sx(x2+1)dydz+y(y2+2)dzdx+z(z2+3)dxdy

设空间有界区域Ω中，柱面x²+y²=1与平面z=0和x+z=1围成，Σ为Ω边界的外侧，计算曲面积分I=∰Σ2xzdydz+xzcosydzdy+3yzsinxdxdy

设平面有界区域D位于第一象限，由曲线x2+y2-xy=1,x2+y2-xy=2与直线y=√3 x,y=0围成，计算∬D1/(3x2+y2 ) dxdy.

设S是单位球面x²+y²+z²=1被锥z>所截部分曲面，定向取球外侧为正向，则对于F=(xy+cosz)i+(-xy-x² )j+(x+2z²)k，曲面积分∬SFdS=________.

设Σ为空间区域{(x,y,z)|x2 + 4y2≤4,0≤z≤2}表面的外侧，则曲面积分∬Σx2dydz + y2dzdx + z2dxdy=______.

f(x)满足∫f(x)/dx = 1/6·x2 - x + C,L为曲线y=f(x)(4≤x≤9),L的弧长为s,L绕x轴旋转一周所形成的曲面的面积为A，求s和A.

曲线(x2 + y2)2 = x2 - y2 (x≥0,y≥0)与x轴围成的区域为D，求xydxdy.

曲线积分与曲面积分

设有界区域D是圆x2 + y2 = 1和直线y=x以及x轴在第一象限围成的部分，计算二重积分(x2 - y2)dxdy.

计算(sin⁡(x3y)+x2y)dxdy，其中D由y=x3,y=-1和x=1围成的有限闭区域.

计算：∮cdz/((z2+1)(z2+z+1))，其中c:为|z|<1.

已知Σ为曲面4x2+y2+z2=1,x≥0,y≥0,z≥0的上侧，L为Σ的边界曲线，其正向与Σ的正向法向量满足右手法则，计算曲线积分I=∫L(yz2-cosz)dx+2xz2dy+(2xyz+xsinz)dz.

设u∈C2 (R3)且∆u(x)=((∂2 u)/(∂x12 )+(∂2 u)/(∂x22 )+(∂2 u)/(∂x32 ))(x)=λu(x),λ为正常数，已知存在C>0，使得|x|≥C时，u≡0，求证：u(x)≡0,∀x∈R3.

求第二类曲线积分∫Ly/(x2+y2)dx-x/(x2+y2)dy，其中L为椭圆x2+1+4y2-4x=0，方向为逆时针.

设D由y=sinπx(0≤x≤1)与x轴转成，则D绕x旋转的旋转体体积为__________.

设Γ是上半球面x2+y2+z2=R2 (z≥0)上的光滑曲线，起点和终点分别在平面z=0,z=R/2上，曲线的切线与z轴正方向的夹角为常数α∈(0,π/6)，求曲线Γ的长度.

计算积分x3 J0 (x)dx

计算曲面积分∬S(xdydz+z2dxdy)/(x2+y2+z2 )，其中S是由曲面x2+y2=R2及平面z=R,z=-R(R>0)所围成的立体表面的外侧.