计算 ∬∑x3dydz，其中∑: x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 =1,z≥0，取外侧.
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计算题（2022年北京师范大学）
答案解析
定义S:z=0,x2/a2 +y2/b2 ≤1取下侧，由∑和S围成封闭区域V.由Gauss公式：∬∑x3 dydz+∬Sx2dydz=∬∑x3dydz=∭V3x2dxdydz令,J=abcr2 sinφ,0≤r≤1,0≤φ≤π...
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计算曲面积分∬S(2x+z)dydz+zdxdy，其中S为有向曲面z=x2+y2 (0≤z≤1)，其法向量与z轴正向的夹角为锐角.
计算∯Σ 2zxdydz+yzdzdx-z2 dxdy，其中Σ是由曲面z=与z=所围成的表面外侧.
求曲面积分∬S(z3-x)dydz-xydzdx-3zdxdy.其中S是由曲面z=4-y2，平面x=0，平面x=3以及xOy平面围成立体的表面，取外侧.
设f(x,y)=，问：f(x,y)在(0,0)处连续吗？方向可导吗？可微吗？
已知an=+∞，证明(a1+a2+⋯+an)/n=+∞，并举例说明反过来不成立.
设∑为曲面x2+y2+z2=1的外侧，计算曲面积分I=∬∑ x3dydz+y3dzdx+z3dxdy.
计算曲面积分I=∬Σ(x3+az2)dydz+(y3+ax2)dzdx+(z3+ay2)dxdy，其中Σ为上半球面z=的上侧.
计算曲面积分∬S(xdydz+z2dxdy)/(x2+y2+z2 )，其中S是由曲面x2+y2=R2及平面z=R,z=-R(R>0)所围成的立体表面的外侧.
计算曲面积分∬ΣzdS，其中Σ为锥面z=在柱体x2+y2≤2x内的部分.
计算曲面积分I=∬Σ (axdydz+(z+a)2dxdy)/(x2+y2+z2 )1/2 ，其中Σ为下半球面z=-的上侧，a为大于零的常数.
设S为椭球面x2/2+y2/2+z2=1的上半部分，点P(x,y,z)∈S,π为S在P处的切平面，ρ(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面π的距离，求∬Sz/(ρ(x,y,z)) dS.
已知平面区域D={(x,y)|y-2≤x≤,0≤y≤2}，计算I=∬D(x-y)2/(x2+y2)dxdy.
设Σ为空间区域{(x,y,z)|x2 + 4y2≤4,0≤z≤2}表面的外侧，则曲面积分∬Σx2dydz + y2dzdx + z2dxdy=______.
f(x)满足∫f(x)/dx = 1/6·x2 - x + C,L为曲线y=f(x)(4≤x≤9),L的弧长为s,L绕x轴旋转一周所形成的曲面的面积为A，求s和A.
求曲面积分I=∬S yzdzdx+2dxdy，其中S是球面x2+y2+z2=4外侧在z≥0的部分.
设数量场u=ln，则div(gradu)=________________.
确定常数λ，使在右半平面x>0上的向量A(x,y)=2xy(x4+y2 )λ i-x2 (x4+y2 )λ j为某二元函数u(x,y)的梯度，并求u(x,y).
已知曲线L的极坐标方程为r=sin3θ(0≤θ≤π/3)，则L围成有界区域的面积为__________.
计算∫Lxdy-ydx，其中L:x2+y2=1，取逆时针方向.
设D由y=sinπx(0≤x≤1)与x轴转成，则D绕x旋转的旋转体体积为__________.
设曲线积分∫Cxy2dx+yφ(x)dy与路径无关，其中φ(x)具有连续的导数，且φ(0)=0，计算xy2dx+yφ(x)dy的值.