大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1990年对坐标的曲面积分)

计算题（1990年理工数学Ⅰ）

求曲面积分I=∬_S yzdzdx+2dxdy，其中S是球面x²+y²+z²=4外侧在z≥0的部分.

答案解析

令S_1表示，其法向量与z轴负向相同，Ω表示S与S1所围成的封闭区域，有I=∬S+S1 yzdzdx+2dxdy-∬_(S_1)yzdzdx+2dxdy,由高斯公式得 ∬S+S1 yzdzdx+2dxdy=∬V zdV=dφdθrcosφ∙r2 s...

查看完整答案

讨论

高斯公式

求曲面积分∬S(z3-x)dydz-xydzdx-3zdxdy.其中S是由曲面z=4-y2，平面x=0，平面x=3以及xOy平面围成立体的表面，取外侧.

计算曲面积分∬S(2x+z)dydz+zdxdy，其中S为有向曲面z=x2+y2 (0≤z≤1)，其法向量与z轴正向的夹角为锐角.

计算∯Σ 2zxdydz+yzdzdx-z2 dxdy，其中Σ是由曲面z=与z=所围成的表面外侧.

设函数y=y(x)满足微分方程y''-3y'+2y=2ex，其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点处的切线重合，求函数y=y(x).

已知AP=PB，其中B=,P=，求A,A5.

已知矩阵A=与B=相似.(1)求x与y;(2)求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P.

设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，则事件A在每次试验中出现的概率是______.

已知f'(3)=2，则(f(3-h)-f(3))/2h=________.

设平面L是下半圆周y=-，则曲线积分∫L(x2+y2)ds=________.

向量场u(x,y,z)=xy2i+ye2j+xln(1+z2)k在点P(1,1,0)处的散度divu=________.

对坐标的曲面积分

已知曲线L的极坐标方程为r=sin3θ(0≤θ≤π/3)，则L围成有界区域的面积为__________.

计算曲面积分I=∬∑x(8y+1)dydz+2(1-y2 )dxdz-4yzdxdy,其中∑是由曲线(1≤y≤3)绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于π/2.

已知随机事件A的概率P(A)=0.5，随机事件B的概率P(B)=0.6以及条件概率P(B|A)=0.8，则和事件A∪B的概率P(A∪B)=______.

甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为______.

设f(x)=sinx-(x-t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(x).

设随机事件A,B及其和事件A∪B的概率分别是0.4,0.3,0.6，若B ̅表示B的对立事件，那么积事件AB ̅的概率P(AB ̅ )=________.

函数，在 x=0处【】

设函数f(x)=sinx/(1+x2)在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则【】

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则f(x)dx=【】

设A,B为随机事件，且0<P(B)<1，下列命题中为假命题的是【】

曲线积分与曲面积分

计算sinx/x dxdy，其中D是由直线y=x以及抛物线y=x2围成的区域。

计算∬Dxdxdy，其中D是以O(0,0),A(1,2),B(2,1)为顶点的三角形区域。

计算第二型曲面积分x(x2+1)dydz+y(y2+2)dzdx+z(z2+3)dxdy其中Σ为球面x2+y2+z2=1的外侧.

设曲面：z=z(x,y)=x4+1/2 (√5-4y)∙x2+y2，柱壁面：y=x2-5/9，圆柱体：x2+y2≤1，在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”：G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”：，[t∈T；(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”：L=？提示：(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面：y=x2-5/9与圆柱面：x2+y2=1满足相交或满足相切？[不定积分公式：∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

由曲线y=y(x)=(-√3<x≤0)和射线y=-√3 x(x≤0)，以及由曲线y=y(x)=(-√3<x≤0)和射线y=-√3 x(x≤0)，直线x=-√3围成了两块平面图形F1和F2（其中，F1的边界长度为有限值，而F2的边界长度为无穷大）.(1)计算出平面图形F1的面积S1=？(2)计算出平面图形F2的面积S2=？提示：采用平面极坐标(r,θ)作计算较为简单.[不定积分公式：∫tg2θdθ=tgθ-θ+C可直接引用]

设曲面：z=z(x,y)=(y-x2)2+√5/2 x2，柱壁面：9y-9x2+5=0，圆柱体：x2+y2≤1，在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”：G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”：，[t∈T；(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”：L=？提示：(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面：y=x2-5/9与圆柱面：x2+y2=1满足相交或满足相切？[不定积分公式：∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

计算第二型曲面积分∬S,其中S是下半球面z=-的下侧，a>0是常数.

设S是x2+y2+z2=1的外侧，计算∬Sx(x2+1)dydz+y(y2+2)dzdx+z(z2+3)dxdy

设有界区域D是圆x2 + y2 = 1和直线y=x以及x轴在第一象限围成的部分，计算二重积分(x2 - y2)dxdy.

计算(sin⁡(x3y)+x2y)dxdy，其中D由y=x3,y=-1和x=1围成的有限闭区域.