大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 2022年斯托克斯公式)

问答题（2022年理工数学Ⅰ）

已知Σ为曲面4x²+y²+z²=1,x≥0,y≥0,z≥0的上侧，L为Σ的边界曲线，其正向与Σ的正向法向量满足右手法则，计算曲线积分

I=∫_L(yz²-cosz)dx+2xz²dy+(2xyz+xsinz)dz.

答案解析

由斯托克斯公式I=∫L(yz2-cosz)dx+2xz2dy+(2xyz+xsinz)dz=∬Σ =∬Σ-2xzdydz+z2dxdy =1-12x2-y2 dxdy=π/8-12x2+y2dxdy ...

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讨论

斯托克斯公式

设A=，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=______.

袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取行得黄球的概率是________.

在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为 N，在 t= 0 时刻已掌握新技术的人数为x0，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人收和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k>0,求x(t).

已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Δy=yΔx/(1+x2)+α，且当Δx→0时，α是∆x(∆x→0)的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于【】

设A,B是两个随机事件，且0<P(A)<1,P(B│A)=P(B|A ̅)，则必有【】

从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k>0).试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式 y= y(v).

已知线性方程组(I)的一个基础解系为(b11,b12,…,b1 2n)T,(b21,b22,…,b2 2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn 2n)T，试写出线性方程组(II)有通解，并说明理由.

从正态总体N(3.4,62)抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？附表：标准正态分布表Φ(z)= dt.z 1.28 1.645 1.96 2.33Φ(z) 0.900 0.950 0.975 0.990

设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分，标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.附表：t分布表 P{t(n)≤t_p (n)}=p

设两两相互独立的三事件A,B,C满足条件：ABC=∅,P(A)=P(B)=P(C)<1/2，且已知P(A∪B∪C)=9/16，则P(A)=________.

曲线积分与曲面积分

设D⊂R2是有界单连通闭区域，I(D)=(4-x2-y2)dxdy取得最大值的积分区域记为D1.(1) 求I(D1 )的值.(2) 计算，其中∂D1是D1的正向边界.

设D由y=sinπx(0≤x≤1)与x轴转成，则D绕x旋转的旋转体体积为__________.

设Γ是上半球面x2+y2+z2=R2 (z≥0)上的光滑曲线，起点和终点分别在平面z=0,z=R/2上，曲线的切线与z轴正方向的夹角为常数α∈(0,π/6)，求曲线Γ的长度.

计算积分x3 J0 (x)dx

设F=yz(2x+y+z)i+xz(x+2y+z)j+xy(x+y+2z)k.求：F沿螺线r=acost∙i+asint∙j+bt∙k的一段（t:0→π/4）所作的功.

设曲面：z=z(x,y)=x4+1/2 (√5-4y)∙x2+y2，柱壁面：y=x2-5/9，圆柱体：x2+y2≤1，在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”：G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”：，[t∈T；(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”：L=？提示：(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面：y=x2-5/9与圆柱面：x2+y2=1满足相交或满足相切？[不定积分公式：∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

设曲面：z=z(x,y)=(y-x2)2+√5/2 x2，柱壁面：9y-9x2+5=0，圆柱体：x2+y2≤1，在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”：G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”：，[t∈T；(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”：L=？提示：(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面：y=x2-5/9与圆柱面：x2+y2=1满足相交或满足相切？[不定积分公式：∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

设L为取正向的圆周x2+y2=9，则曲线积分∮L(2xy-2y)dx+(x2 - 4x)dy=________.

设平面L是下半圆周y=-，则曲线积分∫L(x2+y2)ds=________.

向量场u(x,y,z)=xy2i+ye2j+xln(1+z2)k在点P(1,1,0)处的散度divu=________.

对弧长的曲线积分

在过点O(0,0)和A(π,0)的曲线族y=asinx(a>0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分∫L(1+y3) dx+(2x+y)dy的值最小.

在变力F=yzi+zxj+xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面x2/a2 +y2/b2 +z2/c2 =1上第一卦限的点M(ξ,η,ζ)，问当ξ,η,ζ取何值时，力F所做的功W最大？并求出W的最大值.

设曲线积分∫L[f(x)-ex]sinydx-f(x)cosydy与路径无关，共中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于【】

设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关，并且对任意t恒有2xydx+Q(x,y)dy=2xydx+Q(x,y)dy，求Q(x,y).

计算曲线积分∮C(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz，其中C是曲线从z轴正向往z轴负向看，C的方向是顺时针的.

设L为椭圆x2/4+y2/3=1，其周长记为a，则∮L(2xy+3x2+4y2)ds=__________.

求I=∫L[exsiny-b(x+y)]dx+(excosy-ax)dy，其中a,b为常数，L为从点A(2a,0)沿曲线y=到点O(0,0)的弧.

计算积分∬SzdS，其中S为曲面x2+z2=2az(a>0)被曲面z=所截的部分.

求∫Cx2ds，其中C为x2+y2+z2=a2 (a>0)与z=的交线.

设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y' (x)>0,y(0)=1.过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程.