计算题(2022年吉林大学

求第二类曲线积分∫Ly/(x2+y2)dx-x/(x2+y2)dy,其中L为椭圆x2+1+4y2-4x=0,方向为逆时针.

答案解析

椭圆方程化为:L:(x-2)2/3+y2/(3/4)=1.

由Green公式,原式=∬Ddxdy=∬D0dxdy=0.

讨论

计算积分∬SzdS,其中S为曲面x2+z2=2az(a>0)被曲面z=所截的部分.

设D⊂R2是有界单连通闭区域,I(D)=(4-x2-y2)dxdy取得最大值的积分区域记为D1.(1) 求I(D1 )的值.(2) 计算,其中∂D1是D1的正向边界.

设Γ是上半球面x2+y2+z2=R2 (z≥0)上的光滑曲线,起点和终点分别在平面z=0,z=R/2上,曲线的切线与z轴正方向的夹角为常数α∈(0,π/6),求曲线Γ的长度.

计算积分x3 J0 (x)dx

设F=yz(2x+y+z)i+xz(x+2y+z)j+xy(x+y+2z)k.求:F沿螺线r=acost∙i+asint∙j+bt∙k的一段(t:0→π/4)所作的功.

设曲面:z=z(x,y)=x4+1/2 (√5-4y)∙x2+y2,柱壁面:y=x2-5/9,圆柱体:x2+y2≤1,在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”:G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”:,[t∈T;(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”:L=?提示:(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面:y=x2-5/9与圆柱面:x2+y2=1满足相交或满足相切?[不定积分公式:∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

设曲面:z=z(x,y)=(y-x2)2+√5/2 x2,柱壁面:9y-9x2+5=0,圆柱体:x2+y2≤1,在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”:G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”:,[t∈T;(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”:L=?提示:(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面:y=x2-5/9与圆柱面:x2+y2=1满足相交或满足相切?[不定积分公式:∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

设L为取正向的圆周x2+y2=9,则曲线积分∮L(2xy-2y)dx+(x2 - 4x)dy=________.

计算曲面积分I=∬∑x(8y+1)dydz+2(1-y2 )dxdz-4yzdxdy,其中∑是由曲线(1≤y≤3)绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于π/2.

设平面L是下半圆周y=-,则曲线积分∫L(x2+y2)ds=________.