大学数学-考研试题(吉林大学 2022年三重积分)

计算题（2022年吉林大学）

求三重积分∭_Ω(x²+y²)dxdydz，其中积分区域Ω为x²+y²=2z与z=1围成的区域.

答案解析

原式=dxdy (x²+y²) dz

=(x²+y² )(1-(x²+y²)/2) dxdy (1)

令,J=r,则

(1)式化为dθr² (1-r²/2)∙rdr=2π/3.

讨论

大学数学

求第二类曲线积分∫Ly/(x2+y2)dx-x/(x2+y2)dy，其中L为椭圆x2+1+4y2-4x=0，方向为逆时针.

设u=u(x,y),v=v(x,y)由方程所确定，求∂u/∂x,∂v/∂x.

求极限nxnexdx.

吉林大学两个重要极限

求极限(cos⁡(tanx)-cosx)/(x3sinx).

求极限(1+++⋯+)/n.

设S是x2+y2+z2=1的外侧，计算∬Sx(x2+1)dydz+y(y2+2)dzdx+z(z2+3)dxdy

已知f(x)在[a,b]上二阶可导，且f''(x)≤0，证明：f(x)dx≤(b-a)f((a+b)/2).

证明：(-1)n(n+x2)/n2在[a,b]上一致收敛.

已知φ(x)=|x-t|f(t)dt，若积分存在，且f(x)>0，证明：φ(x)为[a,b]上的凸函数.

重积分

计算二重积分：∬Dds其中，积分区域D为曲线y(x)=与直线y=0所围成的区域.提示：①首先考察曲线y=y(x)⟹F(x,y)=0为何种曲线，②然后采用“平面极坐标”方法作计算？

计算二重积分∬D3x/(x2+xy3 ) dxdy,D:平面曲线xy=1,xy=3,y2=x,y2=3x所围成的有界闭区域.

已知函数f(x)=，则dxf(x)f(y-x)dy=__________.

计算 ∬D(√x+y)dxdy，其中D={(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤2x}.

计算∬Ωe(x-y)/(x+y) dΩ，其中Ω:x≥0,y≥0,x+y≤1.

设g(x)在[0,+∞)上有连续导数，并且g(0)=1，令f(r)=∭x^2+y^2+z^2≤r^2 g(x2+y2+z2)dxdydz,r≥0证明：f(r)在r=0处三阶可导，并求f+''' (0).

已知V是三个坐标平面以及x+y+2z=1,x+y+2z=2围成的封闭区域，求∭V1/(x+y+2z)2 dV

已知u是Ω=[0,1]×[0,1]×[0,1]上的正值连续函数，Ip(u)=(∭Ωupdxdydz)1/p证明：Ip(u)=

求(x2+y2+z2 )2=4(x2+y2-z2)所围立体的体积.

设空间区域Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0,Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0，则【】

三重积分

计算三重积分∭Ω(x+z)dV，其中Ω是由曲面z=与z=所围成的区域.

计算I=∭Ω(x2+y2)dV，其中Ω为平面曲线绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域.

求∭Ω(x2+y2+z)dV，其中Ω是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体.

求证：((cosx)ndx)1/n =1

求证：(n/3-k2/n2 )=-1/2.

若函数f(x)在[a,b]上连续(b>0)，在(a,b)内可导，且f(a)=0，证明：存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=ξf(ξ)/(b-ξ).

求椭圆x2/4+y2=1到直线x+2y-3=0的距离的最小值.

求三重积分∭Ω(x2+y2)dxdydz，其中积分区域Ω为x2+y2=2z与z=1围成的区域.

求三重积分∭Ω(x2+y2)dxdydz，其中积分区域Ω为x2+y2=2z与z=1围成的区域.

求三重积分∭Ω(x2+y2)dxdydz，其中积分区域Ω为x2+y2=2z与z=1围成的区域.