大学数学-考研试题(北京理工大学 2022年二重积分)

计算题（2022年北京理工大学）

计算 ∬_D(√x+y)dxdy，其中D={(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤2x}.

答案解析

原式=dx (√x+y)dy

= (√x y+1/2 y²) dx

=(x^3/2+3/2 x²)dx

=(2/5 x^5/2+1/2 x³ )

=9/10

讨论

大学数学

已知，求d2y/dx2.

求极限( -√n)/

求极限sin4x/(-1)

求证：J=ln⁡(sinx)dx收敛且J=-π/2 ln2.

设u∈C2 (R3)且∆u(x)=((∂2 u)/(∂x12 )+(∂2 u)/(∂x22 )+(∂2 u)/(∂x32 ))(x)=λu(x),λ为正常数，已知存在C>0，使得|x|≥C时，u≡0，求证：u(x)≡0,∀x∈R3.

设f∈[0,2π]，证明：f(x)|sinnx|dx=2/πf(x)dx.

若函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)=0,f(1)=1，则对任何自然数n≥1，存在ξ_n∈[0,1]，使得f(ξn+1/n)=f(ξn )+1/n.

求∫C1/(xdx+ydy)，其中C是从(1,0)到(0,2)的光滑曲线（不过原点）.

求∫Cx2ds，其中C为x2+y2+z2=a2 (a>0)与z=的交线.

试求椭圆x2/4+y2=1上一点，使其到直线3x+4y-12=0,3x-4y+12=0和y+3=0的距离平方和最小.

重积分

计算三重积分∭Ω(x+z)dV，其中Ω是由曲面z=与z=所围成的区域.

积分dxdy=__________.

求∭Ω(x2+y2+z)dV，其中Ω是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体.

设区域D为x2+y2≤R2，则∬D(x2/a2 +y2/b2 )dxdy=____________.

计算I=∭Ω(x2+y2)dV，其中Ω为平面曲线绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域.

设空间区域Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0,Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0，则【】

设半径为R的球面Σ的球心在定球面x2+y2+z2=a2 (a>0)上，问当R为何值时，球面Σ在定球面内部的那部分的面积最大？

设D是xOy平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则∬D(xy+cosxsiny)dxdy等于【】

设函数f(x)在区间[0,1]上连续，并设f(x) dx=A,求dxf(x)f(y)dy.

已知函数f(x)=，则dxf(x)f(y-x)dy=__________.

二重积分

已知函数f(t)=dxsin(x/y)dy，则f'(π/2)=______.

计算二重积分：∬Dds其中，积分区域D为曲线y(x)=与直线y=0所围成的区域.提示：①首先考察曲线y=y(x)⟹F(x,y)=0为何种曲线，②然后采用“平面极坐标”方法作计算？

计算二重积分∬D3x/(x2+xy3 ) dxdy,D:平面曲线xy=1,xy=3,y2=x,y2=3x所围成的有界闭区域.

计算∬Ωe(x-y)/(x+y) dΩ，其中Ω:x≥0,y≥0,x+y≤1.

已知二元函数f(x,y)=.(1)求fx(0,y)；(2)证明：fxy(0,0)=-1.

已知幂级数(-1)nn(n+1) xn .(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间以及和函数；(2)计算(-1)nn(n+1)/4n .

已知：z=x2 F(y/x2)，其中F(u)的一阶偏导数存在，证明：x ∂z/∂x+2y ∂z/∂y=2z.

证明：级数(2n-1)‼/(n!3n)收敛.

已知a1=2,an+1=1/2 (an+1/an )，证明：(1)数列{an }收敛；(2) (an/an+1 -1) 收敛.

已知函数f(x)在(0,1)上连续，且f(1)=3ex-1f(x)dx，证明：存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)+f'(ξ)=0.