大学数学-考研试题(北京理工大学 2022年偏导数)

证明题（2022年北京理工大学）

已知：z=x² F(y/x²)，其中F(u)的一阶偏导数存在，证明：x ∂z/∂x+2y ∂z/∂y=2z.

答案解析

∵∂z/∂x=2xF+x² F'(-2y/x³ )=2xF-2y/x F'

∂z/∂y=x² F' 1/x² =F'

∴x ∂z/∂x+2y ∂z/∂y=2x² F-2yF'+2yF'=2z.

讨论

大学数学

证明：tanx/x > x/sinx，其中x∈(0,π/2).

已知z=f(u,v)，其中u=2x+y,v=x2，求∂z/∂x,∂z/∂y,∂2/∂x2,∂2z/∂x∂y.

计算∫Lxdy-ydx，其中L:x2+y2=1，取逆时针方向.

计算 ∬D(√x+y)dxdy，其中D={(x,y)|0≤x≤1,x≤y≤2x}.

已知，求d2y/dx2.

求极限( -√n)/

求极限sin4x/(-1)

求证：J=ln⁡(sinx)dx收敛且J=-π/2 ln2.

设u∈C2 (R3)且∆u(x)=((∂2 u)/(∂x12 )+(∂2 u)/(∂x22 )+(∂2 u)/(∂x32 ))(x)=λu(x),λ为正常数，已知存在C>0，使得|x|≥C时，u≡0，求证：u(x)≡0,∀x∈R3.

设f∈[0,2π]，证明：f(x)|sinnx|dx=2/πf(x)dx.

偏导数

设z=1/x·f(xy)+yf(x+y)，求∂2z)/∂x∂y.

若f(x,y)的偏导数fx,fy在(x0,y0)存在，则f(x,y)在(x0,y0)连续.

用变换ξ=x,η=x2+y2化简方程y ∂z/∂x-x ∂z/∂y=0，并求出这个方程的通解z=z(x,y).

二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx' (x0,y0 ),fy' (x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的【】

设变换可把方程6 ∂2z/∂x2 +∂2z/∂x∂y-∂2z/∂x∂y=0化简为∂2z/∂u∂v=0，求常数a，其中z=z(x,y)有二阶连续的偏导数.

二元函数f(x,y)=在点(0,0)处【】

设f(u)可导，z=xyf(y/x)，若x ∂z/∂x+y ∂z/∂y=xy(lny-lnx)，则【】

设φ(t),ψ(t)有二阶连续导数，u=φ(y/x)+xψ(y/x)，求：x2 ∂2u/∂x2+2xy ∂2u)/∂x∂y+y2 ∂2u/∂y2.

设u=e-xsin⁡(x/y)，则∂2u)/∂x∂y在点(2,1/π)处的值为________.

设函数f(t)连续，令F(x,y)=(x-y-t) f(t)dt，则【】

多元函数微分法

设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz/dx.

设某产品的产量Q由资本投入量x和劳动投入量y决定，生产函数为Q=12x1/2 y1/6，该产品的销售单价P与Q的关系为P=1160-1.5Q，若单位资本投入和单位劳动投入的价格分别为6和8，求利润最大时的产量.

设u(x,y,z)=，证明：d2u≥0.

求函数f(x,y) = 2ln⁡|x| + 的极值.

若f(x,y)在区域D内对x和y都是连续的，则f(x,y)对(x,y)D为二元连续.

设x(y),z(y)是由方程组所确定的隐函数，求x'(y),z'(y).

已知一个二元实变函数：z=f(x,y)=sin2x - sinx∙cosy+cos2y;[其中，(x,y)∈全平面].(1)求出函数z=f(x,y)在其定义域里的最小值：zmin=？并指出在其定义域何点处，函数z=f(x,y)获得最小值zmin？(2)求出函数z=f(x,y)在其定义域里的最大值：zmax=？并指出在其定义域何点处，函数z=f(x,y)取得最大值zmax？提示：首先，可作变量变换：X=sinx,Y=cosy；然后，考虑关于X和Y的二元实变函数z=F(X,Y).

求函数f(x,y)=1/2(xn+yn)（n是正整数）在条件x+y=a（x≥0,y≥0，常数a>0）下的极值.

设参数方程x=f'(t),y=tf'(t)-f(t)，其中函数f(t)可以求导足够次数，求一阶导数dy/dx和二阶导数d2y/dx2.

设f,g为连续可微函数，u=f(x,xy),v=g(x+xy)，求∂u/∂x∙∂v/∂x