大学数学-考博试题(东北财经大学 2002年偏导数)

计算题（2002年东北财经大学）

设z=1/x·f(xy)+yf(x+y)，求∂²z)/∂x∂y.

答案解析

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讨论

大学数学

东北财经大学两个重要极限

随机变量z ~ N(2,32)，则y=3z-2的数学期望为【】

设A,B为两事件，且P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(A│B)=1/6，则P(A ̅│B ̅ )=【】

A=，则A的特征值为【】

设f(x)为可导函数且满足(f(1)-f(1+x))/2x=1，则y=f(x)在(1,f(1))处的斜率为【】

(e2x-1-ln⁡(2+x))/x=【】

进行一系列独立复生试验，每次成功概率为P，则在成功2次前失败3次的概率为__________。

已知α=(1,2,3);β=(1,1/2,1/3)，设A=αTβ，则An=__________。

五阶行列式D5==__________。

f(x)在[0,1]上有连续导数，f(x)无零点，且f(0)=1,f(1)=2，则dx= __________。

偏导数

已知：z=x2 F(y/x2)，其中F(u)的一阶偏导数存在，证明：x ∂z/∂x+2y ∂z/∂y=2z.

设φ(t),ψ(t)有二阶连续导数，u=φ(y/x)+xψ(y/x)，求：x2 ∂2u/∂x2+2xy ∂2u)/∂x∂y+y2 ∂2u/∂y2.

设f(u)可导，z=xyf(y/x)，若x ∂z/∂x+y ∂z/∂y=xy(lny-lnx)，则【】

设函数f(t)连续，令F(x,y)=(x-y-t) f(t)dt，则【】

已知z=f(u,v)，其中u=2x+y,v=x2，求∂z/∂x,∂z/∂y,∂2/∂x2,∂2z/∂x∂y.

已知二元函数f(x,y)=.(1)求fx(0,y)；(2)证明：fxy(0,0)=-1.

二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx' (x0,y0 ),fy' (x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的【】

设变换可把方程6 ∂2z/∂x2 +∂2z/∂x∂y-∂2z/∂x∂y=0化简为∂2z/∂u∂v=0，求常数a，其中z=z(x,y)有二阶连续的偏导数.

二元函数f(x,y)=在点(0,0)处【】

设u=e-xsin⁡(x/y)，则∂2u)/∂x∂y在点(2,1/π)处的值为________.

多元函数微分法

已知z3-xyz=a3，求zxx,zyx.

求f(x,y,z)=x2y2z2在单位球上的最大值.

设R3上的函数u具有二阶连续偏导数，且不恒为常数，并满足方程∆u+u5=0,∆=∂2/(∂x2 )+∂2/(∂y2 )+∂2/(∂z2 ).令uλ (x,y,z)=λα u(λx,λy,λz),α是某非零常数，使得对任意的λ>0，函数uλ都满足Δuλ+uλ5=0.(1)求常数α；(2)若积分|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz收敛，则对任意的λ>0，以下等式成立：|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz=|∇u(x,y,z)|2 dxdydz,这里∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z);(3)假设D是R3中的一个有界光滑曲面∂D围成的区域，且 u|∂D=0，证明：∫D|u(x,y,z)|6 dxdydz=∫D|∇u(x,y,z)|2 dxdydz.

设u=u(x,y),v=v(x,y)由方程所确定，求∂u/∂x,∂v/∂x.

求函数f(x,y)=(y-x²)(y-x³)的极值.

求函数f(xy)=xecosy+x2/2的极值.

分析{(x,y)|x²+y²<1}上的实系统其中的所有奇点，并确定其类型，画出奇点附近的大致图，并与之对应的一次近似系统作比较.

求函数f(x,y) = 2ln⁡|x| + 的极值.

函数u=ln⁡(x+)在A(1,0,1)处沿A点指向B(3,-2,2)点方向的方向导数为________.

设直线l:在平面π上，且平面π与曲面z=x2+y2相切于点(1,-2,5)，求a,b的值.