大学数学-考研试题(重庆大学 2005年偏导数)

计算题（2005年重庆大学）

设φ(t),ψ(t)有二阶连续导数，u=φ(y/x)+xψ(y/x)，求：x² ∂²u/∂x²+2xy ∂²u)/∂x∂y+y² ∂²u/∂y².

答案解析

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讨论

大学数学

判断函数列fn(x)=(x/n)ln(x/n)在区间(0,1)上的一致收敛性（说明理由）.

求函数f(x)=x2/(1+x2 )的极值与拐点，并求拐点处的切线方程.

求不定积分∫dx/(x3+x2+x+1).

设参数方程x=f'(t),y=tf'(t)-f(t)，其中函数f(t)可以求导足够次数，求一阶导数dy/dx和二阶导数d2y/dx2.

设函数f(x)=，试定义f(1)的数值，使f(x)在x=1连续.

证明：(1)级数 sin⁡(2nπx)/2n 在区间(-∞,+∞)上连续；(2)函数f(x)=sin⁡(2nπx)/2n 在任何区间上不能逐次求导.

证明：级数xn(lnx)2在区间(0,1)上一致收敛.

设函数f(x)在区间(-∞,+∞)绝对可积，函数g(x)在区间(-∞,+∞)有界且满足：|g(x)-g' (x)|≤L|x-x' |,L>0是常数.证明：函数F(y)=f(x)g(x)dx在区间(-∞,+∞)上一致连续.

(1)设y=φ(x)(x≥0)是严格增加的连续函数，φ(0)=0,x=ψ(y)是它的反函数，证明：φ(x) dx+ψ(y)dy≥ab,(a,b≥0)，并给出上述不等式的几何意义（要求图示）.(2)用上述不等式证明：ab≤ap/p+bq/q,a,b>0,p>1,1/p+1/q=1.

设函数f(x)在闭区间[a,]连续，f(a)=f(b)=0,f'(a)·f'(b)>0，证明：函数f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点。

偏导数

设z=1/x·f(xy)+yf(x+y)，求∂2z)/∂x∂y.

若f(x,y)的偏导数fx,fy在(x0,y0)存在，则f(x,y)在(x0,y0)连续.

用变换ξ=x,η=x2+y2化简方程y ∂z/∂x-x ∂z/∂y=0，并求出这个方程的通解z=z(x,y).

已知：z=x2 F(y/x2)，其中F(u)的一阶偏导数存在，证明：x ∂z/∂x+2y ∂z/∂y=2z.

设f(u)可导，z=xyf(y/x)，若x ∂z/∂x+y ∂z/∂y=xy(lny-lnx)，则【】

设函数f(t)连续，令F(x,y)=(x-y-t) f(t)dt，则【】

已知z=f(u,v)，其中u=2x+y,v=x2，求∂z/∂x,∂z/∂y,∂2/∂x2,∂2z/∂x∂y.

已知二元函数f(x,y)=.(1)求fx(0,y)；(2)证明：fxy(0,0)=-1.

二元函数f(x,y)=在点(0,0)处【】

设变换可把方程6 ∂2z/∂x2 +∂2z/∂x∂y-∂2z/∂x∂y=0化简为∂2z/∂u∂v=0，求常数a，其中z=z(x,y)有二阶连续的偏导数.

多元函数微分法

xy (3x-4y)/(x2+y2)

设R3上的函数u具有二阶连续偏导数，且不恒为常数，并满足方程∆u+u5=0,∆=∂2/(∂x2 )+∂2/(∂y2 )+∂2/(∂z2 ).令uλ (x,y,z)=λα u(λx,λy,λz),α是某非零常数，使得对任意的λ>0，函数uλ都满足Δuλ+uλ5=0.(1)求常数α；(2)若积分|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz收敛，则对任意的λ>0，以下等式成立：|∇uλ (x,y,z)|2 dxdydz=|∇u(x,y,z)|2 dxdydz,这里∇=(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z);(3)假设D是R3中的一个有界光滑曲面∂D围成的区域，且 u|∂D=0，证明：∫D|u(x,y,z)|6 dxdydz=∫D|∇u(x,y,z)|2 dxdydz.

设u=u(x,y),v=v(x,y)由方程所确定，求∂u/∂x,∂v/∂x.

求函数f(xy)=xecosy+x2/2的极值.

设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是R³上的二阶连续可微函数，满足∂R/∂y-∂Q/∂z=a,∂P/∂z-∂R/∂x=b,∂Q/∂x-∂P/∂y=c其中a,b,c为常数，证明：存在R³上的连续线性函数f,g,h使得(P-f)dx+(Q-g)dy+(R-h)dz是全微分.

已知f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内，fx(x,y)连续，fy(x0,y0)存在，证明：f(x,y)在(x0,y0)可微.

当x≥0,y≥0时，x2+y2≤kex+y恒成立，则k的最小值是__________.

已知可微函数f(u,v)满足∂f(u,v)/∂u-∂f(u,v)/∂v=2(u-v) e-(u+v)且f(u,0)=u2e-u.(1)记g(x,y)=f(x,y-x)，求∂g(x,y)/∂x;(2)求f(u,v)的表达式和极值.

设f(x,y)=，问：f(x,y)在(0,0)处连续吗？方向可导吗？可微吗？

已知z3-xyz=a3，求zxx,zyx.