大学数学-考研试题(重庆大学 2005年分部积分法)

计算题（2005年重庆大学）

求不定积分∫dx/(x³+x²+x+1).

答案解析

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讨论

大学数学

设参数方程x=f'(t),y=tf'(t)-f(t)，其中函数f(t)可以求导足够次数，求一阶导数dy/dx和二阶导数d2y/dx2.

设函数f(x)=，试定义f(1)的数值，使f(x)在x=1连续.

证明：(1)级数 sin⁡(2nπx)/2n 在区间(-∞,+∞)上连续；(2)函数f(x)=sin⁡(2nπx)/2n 在任何区间上不能逐次求导.

证明：级数xn(lnx)2在区间(0,1)上一致收敛.

设函数f(x)在区间(-∞,+∞)绝对可积，函数g(x)在区间(-∞,+∞)有界且满足：|g(x)-g' (x)|≤L|x-x' |,L>0是常数.证明：函数F(y)=f(x)g(x)dx在区间(-∞,+∞)上一致连续.

(1)设y=φ(x)(x≥0)是严格增加的连续函数，φ(0)=0,x=ψ(y)是它的反函数，证明：φ(x) dx+ψ(y)dy≥ab,(a,b≥0)，并给出上述不等式的几何意义（要求图示）.(2)用上述不等式证明：ab≤ap/p+bq/q,a,b>0,p>1,1/p+1/q=1.

设函数f(x)在闭区间[a,]连续，f(a)=f(b)=0,f'(a)·f'(b)>0，证明：函数f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点。

(1)叙述函数f(x)在区间I一致连续的定义；(2)用肯定语言叙述函数f(x)在区间I不一致连续的定义；(3)设f(x)=sin 1/x,a>0为任一常数，证明：函数f(x)在区间[a,+∞)上一致连续，但在区间(a,+∞)上不一致连续。

按极限定义（ε-δ）证明：=1/4.

计算第二型曲面积分∬S,其中S是下半球面z=-的下侧，a>0是常数.

不定积分

设f(x)在[0,+∞)上连续，在(0,+∞)内可导，g(x)在(-∞,+∞)内有定义且可导，f(0)=g(0)=1，又当x>0时f(x)+g(x)=3x+2，f’(x)-g’(x)=1f’(2x)-g’(-2x)=-12x2+1求f(x)与g(x)的表达式。

浙江省换元积分法

dx=__________。

∫e(x)dx=F(x)+c，则∫e-xf(e-x)dx= 【】

设f′(sin2x)=cos2x+tan2x，0<x<1，试求函数f(x).

已知定义于R的函数f(x)满足f′(lnx)=又f(0)=1，则f(x)=__________。

求不定积分∫(ln⁡(1+x2))/x3 dx

定义函数f(x)在[a,b]可积时，必须选假定f(x)在[a,b]上有界.

设f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上的连续点有无限多个.

连续函数的不定积分一定存在.

分部积分法

计算∫lnx/(1-x)2 dx.

证明：如果d(x)|f(x),d(x)|g(x)，且d(x)是f(x)与g(x)的一个组合，那么d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.

设A∈Cn×n,W={f(A):f(x)∈P[x]},m(x)是A的最小多项式，证明：W的维数=∂(m(x))，其中∂(m(x))表示m(x)的最高次数.

设a1,a2,…,an是n个实数，证明：|ai|≤.

设f(x)=x3+6x2+3px+8，试确定p的值使f(x)有重根并求其根.

三阶行列式有2个元素为4，其余为±1，则此行列式可能的最大值为________.

设γ1,γ2,α,β皆为三维列向量，A=(α,3γ1,3γ2 ),B=(β,γ1,2γ2)且|A|=18,|B|=4，则|A-B|=________.

若不可约多项式p(x)是f(k)(x)的s重因子，且p(x)|f(x)，那么p(x)________ f(x)的s+k重因子.

设A=是实数域上的矩阵，证明：(1)如果|aii|>∑j≠i|aij|,i=1,2,…,n则|A|≠0;(2)如果aii>∑j≠i|aij|,i=1,2,…,n则|A|>0.

计算行列式的值：Dn=