大学数学-考研试题(重庆大学 2004年多项式与行列式)

填空题（2004年重庆大学）

若不可约多项式p(x)是f^(k)(x)的s重因子，且p(x)|f(x)，那么p(x)________ f(x)的s+k重因子.

答案解析

暂无答案

讨论

齐次线性方程组

设A=(α1,α2,α3,α4)为4阶正交矩阵，若矩阵A = ,β = ,k表示任意常数，则线性方程组Ax=β的通解为x=【】

设h(z)是关于自然变量z的多项式.考虑系数在多项式环C[z]中的关于y的三次方程y3-3zy+h(z)=0.(i)当h(z)=-z3-1时，找到此方程的至少一个一次多项式函数解.(ii)假设方程y3-3zy+h(z)=0有三个互不相等的整函数解y=f1(z),f2(z),f3(z)，则h(z)可以取哪些多项式？注：整函数指在整个复平面上解析的函数.

设线性方程组Ax=b的系数矩阵A=。(1)试求能使Jacobi迭代法收敛的a的取值范围；(2)对该方程组写出Jacobi迭代格式（设b=(b1,b2,b3)T已知）。

对方程组，试问用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代是否收敛？为什么？

电子科技大学齐次线性方程组

设X1,X2是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，Y1,Y2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，证明X=k1 (X1+X2 )+k2 (X1-X2 )+(3Y1-2Y2 ),k1,k2∈R是Ax=b的通解。

设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)，B=(β1,β2,β3)，若向量组α1,α2,α3可以由向量组β1,β2线性表出，则【】

设A,B为n阶矩阵，E为单位矩阵.若方程组Ax=0与Bx=0同解，则【】

设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为，又知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1 (0,1,1,0)+k2 (-1,2,2,1).(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系；(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由.

设A=，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=______.

多项式与行列式

设A=(aij)n×n，且行列式≠0,1≤k≤n.证明存在下三角形矩阵Bn×n，使BA为上三角形矩阵。

设a1,a2,…,an是n个实数，证明：|ai|≤.

设复系数多项式f(x)在x=1处的导数f'(1)≠0.证明：存在n阶复方阵A使得f(A)=f(1)J，其中J=是n阶Jordan块.

设A∈Cn×n,W={f(A):f(x)∈P[x]},m(x)是A的最小多项式，证明：W的维数=∂(m(x))，其中∂(m(x))表示m(x)的最高次数.

设f(x)=x3+6x2+3px+8，试确定p的值使f(x)有重根并求其根.

证明：如果d(x)|f(x),d(x)|g(x)，且d(x)是f(x)与g(x)的一个组合，那么d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.

连续函数的不定积分一定存在.

求不定积分∫dx/(x3+x2+x+1).

设f(x)=nx(1-x)n（n为自然数），求(1) f(x)在[0,1]上的最大值M(n)={f(x)}.(2)求M(n).

求级数xn/(ln⁡(n!))的收敛半径，并讨论收敛区间端点的收敛情况.

行列式

五阶行列式D5==__________。

A为4阶方阵，且|A|=-2，则||A|A|=【】

多项式f(x)=中x3项的系数为______.

计算行列式的值：Dn=

已知线性方程组有解，其中a,b为常数.若=4，则=__________.

重庆大学克拉默法则

设A为n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，AT的转置矩阵，当A*=AT时，证明|A|≠0.

设A是n阶矩阵，满足AAT=E(E是n阶单位矩阵，AT是A的转置矩阵)，|A|<0，求|A+E|.

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则【】

设A,B都是n阶复方阵，C=A+B，则det(C-AB)=det(C-BA).