大学数学-考研试题(重庆大学 2003年不定积分的概念与性质)

判断题（2003年重庆大学）

连续函数的不定积分一定存在.

答案解析

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讨论

大学数学

设f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上的连续点有无限多个.

设cn(x)在[0,1]上非负连续（n=1,2,…），cn(x)在[0,1]上一致收敛，令Mn=cn(x)，问Mn 是否收敛？用(xn(1-x))/lnn验证上面的结论.

设f(x)在[a,b]上单调，证明其变上限积分F(x)=f(t)dt在每一x∈(a,b)的单侧导数F+'(x),F_'(x)均存在.

设函数f(x)在[0,+∞)连续，(f(x)-k√x)=0,k>0为常数，证明：f(x)在[0,+∞)上一致连续.

设xn=1+1/√3+1/√5+⋯+1/ - ，证明xn 存在.

证明不等式1/< - <1/ n=1,2,…

计算第二型曲面积分x(x2+1)dydz+y(y2+2)dzdx+z(z2+3)dxdy其中Σ为球面x2+y2+z2=1的外侧.

设x(y),z(y)是由方程组所确定的隐函数，求x'(y),z'(y).

求由圆柱面x2+y2=a2,x2+z2=a2 (a>0)所围立体的体积.

求定积分sinθ/(sinθ+cosθ) dθ.

不定积分

设f(x)在[0,+∞)上连续，在(0,+∞)内可导，g(x)在(-∞,+∞)内有定义且可导，f(0)=g(0)=1，又当x>0时f(x)+g(x)=3x+2，f’(x)-g’(x)=1f’(2x)-g’(-2x)=-12x2+1求f(x)与g(x)的表达式。

浙江省换元积分法

dx=__________。

∫e(x)dx=F(x)+c，则∫e-xf(e-x)dx= 【】

设f′(sin2x)=cos2x+tan2x，0<x<1，试求函数f(x).

已知定义于R的函数f(x)满足f′(lnx)=又f(0)=1，则f(x)=__________。

求∫(1+x)/(x(1+xex)) dx.

函数f(x)=的一个原函数为【】

计算∫lnx/(1-x)2 dx.

设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，则d∫f(x) dx等于【】

不定积分的概念与性质

定义函数f(x)在[a,b]可积时，必须选假定f(x)在[a,b]上有界.

求∫dx/(xln2x)

∫f'(x)dx=__________.

若|un+1 - un |收敛，则un存在.

设f(x)在[0,+∞)上非负连续，n是正整数，若f(x)dx存在，则f(x)dx收敛.

设函数g(x)在x=0的领域内有定义，g(0)=g'(0)=0,f(x)=，求f'(0).

求不定积分∫dx/(x3+x2+x+1).

重庆大学数列极限

求不定积分∫(ln⁡(1+x2))/x3 dx

设f(x)=nx(1-x)n（n为自然数），求(1) f(x)在[0,1]上的最大值M(n)={f(x)}.(2)求M(n).