大学数学-考研试题(重庆大学 2003年不定积分的概念与性质)

判断题（2003年重庆大学）

设f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上的连续点有无限多个.

答案解析

暂无答案

讨论

大学数学

设cn(x)在[0,1]上非负连续（n=1,2,…），cn(x)在[0,1]上一致收敛，令Mn=cn(x)，问Mn 是否收敛？用(xn(1-x))/lnn验证上面的结论.

设f(x)在[a,b]上单调，证明其变上限积分F(x)=f(t)dt在每一x∈(a,b)的单侧导数F+'(x),F_'(x)均存在.

设函数f(x)在[0,+∞)连续，(f(x)-k√x)=0,k>0为常数，证明：f(x)在[0,+∞)上一致连续.

设xn=1+1/√3+1/√5+⋯+1/ - ，证明xn 存在.

证明不等式1/< - <1/ n=1,2,…

计算第二型曲面积分x(x2+1)dydz+y(y2+2)dzdx+z(z2+3)dxdy其中Σ为球面x2+y2+z2=1的外侧.

设x(y),z(y)是由方程组所确定的隐函数，求x'(y),z'(y).

求由圆柱面x2+y2=a2,x2+z2=a2 (a>0)所围立体的体积.

求定积分sinθ/(sinθ+cosθ) dθ.

设函数g(x)在x=0的领域内有定义，g(0)=g'(0)=0,f(x)=，求f'(0).

不定积分

设f(x)在[0,+∞)上连续，在(0,+∞)内可导，g(x)在(-∞,+∞)内有定义且可导，f(0)=g(0)=1，又当x>0时f(x)+g(x)=3x+2，f’(x)-g’(x)=1f’(2x)-g’(-2x)=-12x2+1求f(x)与g(x)的表达式。

浙江省换元积分法

dx=__________。

∫e(x)dx=F(x)+c，则∫e-xf(e-x)dx= 【】

设f′(sin2x)=cos2x+tan2x，0<x<1，试求函数f(x).

已知定义于R的函数f(x)满足f′(lnx)=又f(0)=1，则f(x)=__________。

求∫(1+x)/(x(1+xex)) dx.

函数f(x)=的一个原函数为【】

计算∫lnx/(1-x)2 dx.

设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，则d∫f(x) dx等于【】

不定积分的概念与性质

定义函数f(x)在[a,b]可积时，必须选假定f(x)在[a,b]上有界.

求∫dx/(xln2x)

∫f'(x)dx=__________.

连续函数的不定积分一定存在.

求级数xn/(ln⁡(n!))的收敛半径，并讨论收敛区间端点的收敛情况.

如函数f(x)在[0,+∞)上一致连续，且无穷积分f(x)dx收敛，证明：f(x)=0.

已知f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内，fx(x,y)连续，fy(x0,y0)存在，证明：f(x,y)在(x0,y0)可微.

设fn (x)在(a,b)上单调递增，且有实数列{Mn },n=1,2,3,…使得∀x∈(a,b),|fn (x)|≤Mn，若fn (x)在(a,b)上一致收敛于f(x)，证明：(1)存在M>0，使得∀x∈(a,b),|f(x)|≤M;(2)极限f(x)存在.

对∀p为正整数，|un+p - un |=0，则un 存在.

若f(x)在x0的领域内有定义，在x0可导，则f(x)在x0的某领域内连续.