大学数学-竞赛试题(南京大学 1993年不定积分的概念与性质)

填空题（1993年南京大学）

已知定义于R的函数f(x)满足

f′(lnx)=

又f(0)=1，则f(x)=__________。

答案解析

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讨论

大学数学

设f′(sin2x)=cos2x+tan2x，0<x<1，试求函数f(x).

设x>0时，f(x)=，求证：x→0+时，f(x)=e+Ax+Bx2+o(x2)，并求A,B之值.

已知 =c（c≠0），求k和c.

不查表，求方程x2sin=2x-1977的近似解，精确到0.001.

当x→0时，1-cosxcos2xcos3x对于无穷小x的阶数等于 __________.

当x→0时，x-sinxcosxcos2x与cx4为等价无穷小，则c=__________，k=__________.

设函数f(x)在(0,+∞)上连续可导，f(x)存在，f(x)的图形在(0,+∞)是上凸的，求证：f′(x)=0.

设函数f(x)在(-∞,+∞)上具有二阶导数，并且f″(x)>0，f′(x)=α>0，f′(x)=β<0，且存在一点x0使得f(x0)<0，证明：方程f(x)=0在(-∞,+∞)上恰有两个实根.

设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=0，f(1)=1，求证：存在ξ∈(0,1)，使得ξf″(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ.

不定积分

设f(x)在[0,+∞)上连续，在(0,+∞)内可导，g(x)在(-∞,+∞)内有定义且可导，f(0)=g(0)=1，又当x>0时f(x)+g(x)=3x+2，f’(x)-g’(x)=1f’(2x)-g’(-2x)=-12x2+1求f(x)与g(x)的表达式。

求∫(1+x)/(x(1+xex)) dx.

计算∫lnx/(1-x)2 dx.

函数f(x)=的一个原函数为【】

求∫dx/(xln2x)

设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，则d∫f(x) dx等于【】

求∫dx/(a2sin2⁡x+b2cos2⁡x ).( a,b是不全为零的非负常数)

理工数学Ⅰ换元积分法

求不定积分∫dx/(x3+x2+x+1).

∫f'(x)dx=__________.

不定积分的概念与性质

连续函数的不定积分一定存在.

设f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上的连续点有无限多个.

∫e(x)dx=F(x)+c，则∫e-xf(e-x)dx= 【】

定义函数f(x)在[a,b]可积时，必须选假定f(x)在[a,b]上有界.

证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.

设f(a)=0,f(x)在[a,b]上的导数连续，求证：1/(b-a)²·|f(x)|dx≤1/2 maxx∈[a,b] ⁡|f'(x)|,x∈[a,b]

南京大学定积分的概念与性质

证明：xasinxdx∙a-cosx dx≥π³/4其中，a>0为常数.

设函数f(x)在x=a可导，且f(a)≠0，则=__________。

南京大学函数极限的性质