设函数f(x)在(0,+∞)上连续可导，
f(x)存在，f(x)的图形在(0,+∞)是上凸的，求证：f′(x)=0.
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计算题（1975年莫斯科钢铁与合金学院）
答案解析
设f(x)=A，令F(x)=f(x)-A，则F(x)=f(x)-A=0由于f(x)在(0,+∞)是上凸的⇔ f′(x)在(0,+∞)上严格递减，因此F′(x)= f′(x) 在(0,+∞)上严格递减.∀c>0，若F′(c)<0，在[c，x]上应用拉格朗日中值定理，∃ξ∈(c,x)使得F(x)=F(c)+ F′(ξ)(x-c)< F(c)+ F′(c)(x-c)令x→+∞得F(x)=-∞，此与...
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设函数f(x)在(-∞,+∞)上具有二阶导数，并且f″(x)>0，f′(x)=α>0，f′(x)=β<0，且存在一点x0使得f(x0)<0，证明：方程f(x)=0在(-∞,+∞)上恰有两个实根.
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=0，f(1)=1，求证：存在ξ∈(0,1)，使得ξf″(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ.
设实系数一元n次方程P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an (a0≠0，n≥2)的根全为实数，证明：方程P′(x)=0的根也全为实数.
设f(x)在[0,+∞)上连续可导，f(0)=1，且对一切x≥0有|f(x)|≤e-x，求证：∃ξ∈(0,+∞)，使得f'(ξ)=e-ξ .
设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则= ____________________.
证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.
确定函数y=(x+1)/x2 的单调区间、极值、凸凹区间、拐点以及渐近线.
设在区间[a,b]上f(x)>0,f' (x)<0,f''(x)>0，记S1=f(x)dx,S2=f(b)(b-a),S3=1/2[f(a)+f(b)](b-a)，则【 】
曲线y=(t-1)(t-2)dt在点(0,0)处的切线方程是____________.
设f(x)有二阶连续导数，且f' (0)=0,f''(x)/|x|=1，则【 】
曲线y=arctanx在横坐标为1的点处的切线方程是__________；法线方程是____________.
求函数f(x)=x2/(1+x2 )的极值与拐点，并求拐点处的切线方程.
设函数f(x)在开区间(a,b)内存在二阶导数f''(x)，且在(a,b)内f''(x)>0，证明：对于任意两点x1,x2∈(a,b)，恒有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2.
已知f(x)在[a,b]上三次可微，且f(a)=f' (a)=f(b)=0,|f''' (x)|≤M,证明：|f(x) dx|≤M/72 (b-a)4.
设a,b,c,d皆为常数，cd≠0，说明并给出理由，当a,b,c,d满足什么条件时，f(x)=(ax+b)/(cx+d)无极值.
设f(x)在(0,1)上可导，在[0,1]上连续，且f(1)-f(0)=2e-1-1.证明：存在ξ∈(0,1)，使得eξ^2 f' (ξ)+2ξ3=0.
求椭圆x2/4+y2=1到直线x+2y-3=0的距离的最小值.
若函数f(x)在[a,b]上连续(b>0)，在(a,b)内可导，且f(a)=0，证明：存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=ξf(ξ)/(b-ξ).
设曲线y=y(x)(x>0)经过点(1,2)，该曲线上任一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距.(Ⅰ)求y(x)；(Ⅱ)求函数f(x)=y(t)dt在(0,+∞)上的最大值.