1975年莫斯科钢铁与合金学院 · 曲线的凸凹性 · 竞赛题

设函数f(x)在(0,+∞)上连续可导,lim x->+∞f(x)存在,f(x)的图形在(0,+∞)是上凸的,求证:lim x->+∞f′(x)=0.

答案

lim x->+∞f(x)=A,令F(x)=f(x)-A,则

lim x->+∞F(x)=lim x->+∞f(x)-A=0

由于f(x)在(0,+∞)是上凸的 f′(x)在(0,+∞)上严格递减,因此F′(x)= f′(x) 在(0,+∞)上严格递减.

∀c>0,若F′(c)<0,在[c,x]上应用拉格朗日中值定理,ξ∈(c,x)使得

F(x)=F(c)+ F′(ξ)(x-c)< F(c)+ F′(c)(x-c)

令x→+∞得lim x->+∞F(x)=-∞,此与F(+∞)=0矛盾. ∀x∈(0,+∞),有F′(x)≥0.于是x→+∞时,F′(x)严格递减,有下界,应用单调有界准则得x→+∞时F′(x)的极限存在,且lim x->+∞F′(x)=B≥0.若B>0,在区间[1,x]上应用拉格朗日中值定理,η∈(1,x),使得

F(x)=F(1)+ F′(η)(x-1)> F(1)+B(x-1)

令x→+∞得lim x->+∞F(x)=+∞,此与F(+∞)=0矛盾.所以B=0,即

lim x->+∞f′(x)=lim x->+∞F′(x)=0

笔记