设实系数一元n次方程
P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an (a0≠0，n≥2)
的根全为实数，证明：方程P′(x)=0的根也全为实数.
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计算题（1976年莫斯科石油与天然气工业学院）
答案解析
设方程P(x)=0的n个实根为c1，c2，…，cr，d1，d2，…，dl其中c1，c2，…，cr为单根；d1，d2，…，dl为重根，其重数依次为k1，k2，…，kl（kj≥2，j=1，2，…，l），则r+k1+k2+…+kl=n对于重根dj（j=1，2，…，l），多项式P(x)可写为P(x)=(x-dj)kjQ(x)，Q(dj)≠0则P′(x)=kj(x-dj)kj-1Q(x)+(x-dj)kjQ′(x)=(x-dj)kj[kjQ(x)+(x-dj)Q′(x)]由于kjQ(x)+(x-dj)Q′(x)|x=dj=kjQ(dj) ≠ 0，所以x=dj是方程P′(x)=0的...
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设f(x)在[0,+∞)上连续可导，f(0)=1，且对一切x≥0有|f(x)|≤e-x，求证：∃ξ∈(0,+∞)，使得f'(ξ)=e-ξ .
设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则= ____________________.
证明：两条心脏线ρ=α(1+cosθ)与ρ=α(1+cosθ)在交点处的切线相互垂直.
已知函数y=f(x)在x=2处连续，且=2求证f(x)在x=2处可导，并求f'(x)=2.
设当x=0时，f(sinx)= f2(sinx)，f'(x)≠0，则f(0)=__________.
设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，欲使F(x)在x=0可导，则必有【 】
设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.
已知f(x)在[a,b]上三次可微，且f(a)=f' (a)=f(b)=0,|f''' (x)|≤M,证明：|f(x) dx|≤M/72 (b-a)4.
设f(x)在(0,1)上可导，在[0,1]上连续，且f(1)-f(0)=2e-1-1.证明：存在ξ∈(0,1)，使得eξ^2 f' (ξ)+2ξ3=0.
若函数f(x)在[a,b]上连续(b>0)，在(a,b)内可导，且f(a)=0，证明：存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=ξf(ξ)/(b-ξ).
设f在[0,1]上连续，在(0,1)上有二阶连续导数，f(0)=f(1)=1,f'' (x)<8，证明：对任意的x∈[0,1]，有f(x)>0.
已知f''(x)<0,f(0)=0，证明对任何x1>0,x2>0，恒有f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)成立.
设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数，且f'(x)≥k>0,f(0)<0，证明：f(x)在(0,+∞)有且仅有一个零点.
设曲线y=y(x)(x>0)经过点(1,2)，该曲线上任一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距.(Ⅰ)求y(x)；(Ⅱ)求函数f(x)=y(t)dt在(0,+∞)上的最大值.
若函数f(a)=1/(x(lnx)a+1) dx在a=a0处取得最小值，则a0=【 】
设函数f(x)=(x2+a) ex，若f(x)没有极值点，但曲线y=f(x)有拐点，则a的取值范围是【 】
曲线3x3=y5+2y3在x=1对应点处的法线斜率为__________.
在Oxy平面上给定点O(0,0),A(1,0)，动点P(x,y)在直线y=x+1上,则当P(x,y)=________时，∠OPA取到最大.
已知f(x)在x=0的某个领域内连续，且f(0)=0,f(x)/(1-cosx)=2，则在点x=0处f(x)【 】