大学数学-竞赛试题(江苏省 1991年三角函数)

填空题（1991年江苏省）

函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为____________________.

答案解析

当0≤x≤π/2时y=sin2x，即sinx=√x（0≤x≤1），所以x=arcsin√y（0≤y≤1）；当-π/2≤x≤0时y=-sin2x（-1≤x≤0），所以sin2x=-y，sinx=-√(-...

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讨论

基本初等函数

设函数f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)上连续.下面哪个条件能够判定函数f(x)在[a,b]上有最大值【】

设函数f(x)=，则函数f[f(x)]=__________.

设f(x)=x3-3x2-x+9，已知f的下列函数值x -1.3 -1.4 -1.5 -1.6 -1.7f(x) 3.033 1.776 0.375 -1.176 -2.883求方程f(x)=0在区间[-1.7,-1.3]上根的近似值（用牛顿反插值法）。

能否用迭代法求下列方程，如不能，将方程改写为能用迭代法求解的形式.x=4-αx.

设a1=1,an=sinan-1 (n≥2)，证明：an≥(n≥2).

已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=____________________.

设f(x)在[0,+∞)上连续，在(0,+∞)内可导，g(x)在(-∞,+∞)内有定义且可导，f(0)=g(0)=1，又当x>0时f(x)+g(x)=3x+2，f’(x)-g’(x)=1f’(2x)-g’(-2x)=-12x2+1求f(x)与g(x)的表达式。

已知命题：若函数f(x)在区间[a,b]上可导，f'(a)>0，则存在c∈(a,b)，使得f(x)在区间[a,c)上单调增加，判断该命题是否成立.若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，证明命题不成立.

已知 =c（c≠0），求k和c.

江苏省数列极限存在准则

函数

设f(x)=,f[φ(x)]=1-x，且φ(x)≥0，求φ(x)及其定义域.

设 f(x) 是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则【】

在平面直角坐标系中，椭圆x2+xy+y2=1的长轴方程为__________，位于x轴上半平面内的焦点坐标为__________.

已知φ(x)=|x-t|f(t)dt，若积分存在，且f(x)>0，证明：φ(x)为[a,b]上的凸函数.

f(x)=|xsinx| ecosx,-∞<x<+∞是【】

若z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析，且u-v=(x-y)(x2+4xy+y2)，求f(z).

设数列{xn}为x1=1，xn+1= (n=1,2,…)，求证数列{xn}收敛，并求其极限.

设数列{xn}为x1=，x2=，xn+2=(n=1,2,…)，求证数列{xn}收敛，并求其极限.

江苏省数列极限存在准则

三角函数

当a=__________，b=__________时，有arctanx=-

当x→0时，x-sinxcosxcos2x与cx4为等价无穷小，则c=__________，k=__________.

设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=0，f(1)=1，求证：存在ξ∈(0,1)，使得ξf″(ξ)+(1+ξ)f’(ξ)=1+ξ.

已知函数y=f(x)在x=2处连续，且=2求证f(x)在x=2处可导，并求f'(x)=2.

设y=ln(1-x2)，求y(n).

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，欲使F(x)在x=0可导，则必有【】

设当x=0时，f(sinx)= f2(sinx)，f'(x)≠0，则f(0)=__________.

函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为____________________.

函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为____________________.

函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为____________________.