大学数学-竞赛试题(江苏省 2012年数列极限存在准则)

计算题（2012年江苏省）

求数列极限.png

答案解析

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讨论

数列极限存在准则

设函数f(x)在（-∞,+∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是【】

设数列{xn}满足0<x1<π，xn+1=sinxn（n=1,2,...）.证明xn存在，并求该极限.

浙江省数列极限存在准则

莫斯科电子技术学院数列极限存在准则

莫斯科民族友谊大学数列极限存在准则

江苏省数列极限存在准则

南京工业大学数列极限存在准则

设数列{xn}为x1=1，xn+1= (n=1,2,…)，求证数列{xn}收敛，并求其极限.

设数列{xn}为x1=，x2=，xn+2=(n=1,2,…)，求证数列{xn}收敛，并求其极限.

设函数f(x)在x=a可导，且f(a)≠0，则=__________。

数列极限

求⁡[sin⁡(π/n)/(n+1)+sin(2π/n)/(n+1/2)+⋯+sinπ/(n+1/n)]

已知an=a≠0，试用ε-N语言证明：1/an =1/a.

设an=a,且a≠0，则当n充分大时，有【】.

设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且an=0， bn=1，cn=∞，则必有【】

((n-2)/(n+1))n=________.

设x1=10,xn+1=(n=1,2,⋯)，试证数列{xn}的极限存在，并求此极限.

设-π/2≤xn≤π/2，则【】

已知an=-(-1)n/n(n=1,2,…)，则{an}【】

由下面哪个条件能够判断{xn}收敛【】

对有界数列{xn}，下面哪个说法可作为xn=L的定义【】（此题不全，待更新）

函数与极限

设 f(x) 是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则【】

当x→0时，α(x),β(x)是非零无穷小量，给出以下四个命题①若α(x)~β(x)，则α2 (x)~β2 (x)②若α2 (x)~β2 (x)，则α(x)~β(x)③若α(x)~β(x)，则α(x)-β(x)=o(α(x))④若α(x)-β(x)=o(α(x))，则α(x)~β(x)其中所有真命题的序号是【】

设函数f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)上连续.下面哪个条件能够判定函数f(x)在[a,b]上有最大值【】

试问函数f(x,y)=sin⁡[π/(1-x2-y2 )]在区域D:{(x,y)∈R2;x2+y2<1}上是否一致连续？证明你的结论.

在平面直角坐标系中，椭圆x2+xy+y2=1的长轴方程为__________，位于x轴上半平面内的焦点坐标为__________.

若函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)=0,f(1)=1，则对任何自然数n≥1，存在ξ_n∈[0,1]，使得f(ξn+1/n)=f(ξn )+1/n.

已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，且f(x)存在，证明：(1)函数f(x)有界；(2)存在ξ∈[a,+∞)，使得f(ξ)为f(x)在[a,+∞)上的最大值或最小值.

验证函数f(x)=lnx在区间[1,+∞)上一致连续，但在(0,1)上不一致连续.

证明：f(x)=tx-1 e-t lntdt 在(0,+∞)上连续.

设f(x)在x=0处连续，且对任意的x∈R，有f(x)=f(3x)，证明：f(x)是常值函数.