证明题(2022年华中科技大学

证明:f(x)=tx-1 e-t lntdt 在(0,+∞)上连续.

答案解析

记f(x)=tx-1 e-t lntdt +tx-1 e-t lntdt =I1+I2.对于I1,当0<x≤1时,tx-1 e-t lnt= lnt/t1-x =-∞,故t=0为瑕点.对∀[a,b]⊂(0,1],|tx-1 e-t lnt|≤-ta-1 e-t lnt取0<p=1-a/2<1,有-tp ta-1 e-t lnt=-ta/2 lnt=-⁡=⁡2/a ta/2 =0故-ta-1 e-t lntdt 收敛,由魏尔斯特拉斯判别法(M-判别法)知,I1在[a,b]上一致收敛,故在(0,1]内闭一致收敛....

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