大学数学-考研试题(中国科学院 2022年反常积分的审敛法)

问答题（2022年中国科学院）

讨论sinbx/x^λ dx(b≠0)的绝对收敛性和条件收敛性.

答案解析

原积分I=∫0+∞sinbx/xλ dx=I1+I2=∫01sinbx/xλ dx+∫1+∞sinbx/xλ dx.①对I1：∵xλ-1 |sinbx/xλ |=⁡|sinbx/x|=|b|>0，故当0<λ-1<1即1<λ<2时，I1绝对收敛.对I2：当1<λ<2时，∵∫1+∞|sinbx/xλ | dx≤∫1+∞1/xλ dx收敛，∴I2绝对收敛.综上知，当1<λ<2时，I绝对收敛.②当0<λ≤1时，I1收敛.对于I2，由于|∫u1u2sinbxdx|=1/|b...

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讨论

大学数学

求证：x2/(1+x2 )n 收敛，但在R上不一致收敛.

求证：(-1)n-1x2/(1+x2 )n 在R上一致收敛.

证明：若f(x)在区间(a,b)内可导且无界，则其导函数f'(x)在(a,b)内也无界，但反之不然，举出例子.

(ln⁡(1+x)-x)/x2

(1+22√2+32∛3+⋯+n2)/n3

求曲线L:y=1/3 x3+2x(0≤x≤1)绕直线y=4/3 x旋转一周生成的旋转曲面的面积.

设f(x)=t|t|dt.求曲线y=f(x)与x轴所围成封闭图形的面积.

点A位于半径为a的圆周内部，且离圆心的距离为b(0≤b<a)，从点A向圆周上所有点的切线作垂线，求所有垂足所围成的图形的面积.

求n-1/2 的整数部分.

南京大学定积分的概念与性质

反常积分的审敛法

设p为常数，若反常积分lnx/(xp(1-x)1-p) dx收敛，则p的取值范围是【】

设函数f(x)在[0,+∞)连续、非负，且广义积分f(x)dx收敛，证明：xf(x)dx=0.

证明含参广义积分F(a)=e-axsinxdx在(0,+∞)连续，但非一致收敛.

证明：广义积分lnx/√x dx收敛.

已知f(x)dx条件收敛，且f+(x)=(|f(x)|+f(x))/2,f-(x)=(|f(x)|-f(x))/2证明：(1) f+(x)dx,f-(x)dx均发散到+∞;(2)当A→+∞时，f+(x) dx与f-(x)dx等价.

求积分I(a)=arctan⁡(ax)/(x(1+x2)) dx,a>0.

判断dx/(ex+1)的敛散性.

设[a,+∞)上非负连续函数f可导，且具有连续导函数，若存在r>1，使xf'(x)/f(x)≤-r，证明：反常积分f(x)dx收敛.

先说明广义积分dx/(a4+x4 )收敛（a>0是常数），再计算其积分值.

求证：J=ln⁡(sinx)dx收敛且J=-π/2 ln2.

定积分

函数F(x)=(2-1/√t) dt(x>0)的单调减少区间为__________.

设f(x)=sint2dt,g(x)=x3+x4，则当x→0时，f(x)是g(x)的【】

设，求dy/dx,(d2y)/(dx2)在t=的值.

求ln⁡(1+x)/(2-x)2 dx.

tsint dt=__________.

已知f(2)=1/2,f'(2)=0及f(x)dx=1，求x2f''(2x)dx.

xdx=__________.

设f(x)=lnt/(1+t) dt，其中x>0，求f(x)+f(1/x).

设f(x)连续，φ(x)=f(xt)dt，且f(x)/x=A(A为常数)，求φ'(x)并讨论φ'(x)在x=0处的连续性.

设f(x)连续，则d/dx tf(x2-t2)dt等于【】