大学数学-竞赛试题(浙江省 2002年数列极限存在准则)

计算题（2002年浙江省）

设S_n=，求.

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数列极限存在准则

莫斯科公路学院数列极限存在准则

莫斯科民族友谊大学数列极限存在准则

江苏省数列极限存在准则

南京工业大学数列极限存在准则

设数列{xn}为x1=1，xn+1= (n=1,2,…)，求证数列{xn}收敛，并求其极限.

设x1=10,xn+1=(n=1,2,⋯)，试证数列{xn}的极限存在，并求此极限.

设-π/2≤xn≤π/2，则【】

已知an=-(-1)n/n(n=1,2,…)，则{an}【】

对有界数列{xn}，下面哪个说法可作为xn=L的定义【】（此题不全，待更新）

设f(x)=sin⁡(a1 x)+sin⁡(a2 x)+sin⁡(a3 x),a1,a2,a3>0.证明：存在数列{tn}使得tn=+∞且f(x+tn)=f(x)对∀x∈R一致成立.

数列极限

已知an=(|sint|+|cost|)dt,bn=e-t sintdt，求anbn.

已知α>0，求极限.

莫斯科财政金融学院数列极限

证明不等式1/< - <1/ n=1,2,…

设0<a<1，求极限(a+2a2+3a3+⋯+nan).

求⁡[sin⁡(π/n)/(n+1)+sin(2π/n)/(n+1/2)+⋯+sinπ/(n+1/n)]

已知an=+∞，证明(a1+a2+⋯+an)/n=+∞，并举例说明反过来不成立.

已知an=a≠0，试用ε-N语言证明：1/an =1/a.

证明数列{sinn}发散.

设an=a,且a≠0，则当n充分大时，有【】.

函数与极限

若函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)=0,f(1)=1，则对任何自然数n≥1，存在ξ_n∈[0,1]，使得f(ξn+1/n)=f(ξn )+1/n.

已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，且f(x)存在，证明：(1)函数f(x)有界；(2)存在ξ∈[a,+∞)，使得f(ξ)为f(x)在[a,+∞)上的最大值或最小值.

验证函数f(x)=lnx在区间[1,+∞)上一致连续，但在(0,1)上不一致连续.

证明：f(x)=tx-1 e-t lntdt 在(0,+∞)上连续.

设f(x)在x=0处连续，且对任意的x∈R，有f(x)=f(3x)，证明：f(x)是常值函数.

讨论f(x)=sinx2在(-∞,+∞)上的一致连续性.

已知φ(x)=|x-t|f(t)dt，若积分存在，且f(x)>0，证明：φ(x)为[a,b]上的凸函数.

当x→0时，函数f(x)=ax+bx2+ln⁡(1+x)与g(x)=ex^2 -cosx是等价无穷小，则ab=______.

已知{xn },{yn}满足x1=yn=1/2,xn+1=sinxn,yn+1=yn2 (n=1,2,⋯) ，则当n→∞时【】

给定x0>0以及[0,+∞)上连续函数f(x)，证明：至多具有一个定义于[0,+∞)上的连续函数y(x)满足对任意的x>0，有dy/dx=-y³+f(x)，其中y(0)=y0.