大学数学-考研试题(武汉大学 2022年数列极限)

计算题（2022年武汉大学）

已知a_n=(|sint|+|cost|)dt,b_n=e^-t sintdt，求a_nb_n.

答案解析

由|sint|+|cost|=|sin⁡(t+π)|+|cos⁡(t+π)|得an=(|sint|+|cost|)dt=(|sint|+|cost|) dt=4=4n2anbn =4 n2 e-t s...

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讨论

微积分基本公式

计算(e-ax - e-bx)/x sinxdx，其中a,b>0.

|x|dx = ______.

f(x)在[0,1]上有连续导数，f(x)无零点，且f(0)=1,f(1)=2，则dx= __________。

设f(x)连续，且f(t)dt=x，则f(7)=__________.

设f(x)在(-∞,+∞)内连续可导，且m≤f(x)≤M,a>0.(1)求1/(4a2)[f(t+a)-f(t-a)]dt;(2)求证：|1/2af(t)dt-f(x)|≤M-m.

理工数学Ⅱ微积分基本公式

(2x+3)/(x2-x+1)dx=__________.

积分2/(x2+2x+4) dx=__________.

计算积分ln⁡(1-2acosx+a2)dx.

三角函数

已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=____________________.

函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为____________________.

设a1=1,an=sinan-1 (n≥2)，证明：an≥(n≥2).

已知u是Ω=[0,1]×[0,1]×[0,1]上的正值连续函数，Ip(u)=(∭Ωupdxdydz)1/p证明：Ip(u)=

已知S={(x,y,z)│x2+4y2+9z2=1,z≤0}取下侧，求∬S(yez+x)dydz+(zex+y)dzdx+(xcosxy+z)dxdy

已知{un(x)}是可微函数列，且un(x)在[a,b]上一致有界，证明：若un(x)收敛，则un(x)必定一致收敛.

已知含参变量积分F(x)=sin⁡(xy)/(ln⁡(lny)) dy，证明：(1) F(x)在[δ,+∞)上关于x一致收敛（δ>0）(2) F(x)在(0,+∞)上关于x不一致收敛.

已知V是三个坐标平面以及x+y+2z=1,x+y+2z=2围成的封闭区域，求∭V1/(x+y+2z)2 dV

已知f(x)在[a,b]上三次可微，且f(a)=f' (a)=f(b)=0,|f''' (x)|≤M,证明：|f(x) dx|≤M/72 (b-a)4.

计算(2-x-2cosx)/(xex-ln⁡(1+x))

数列极限

莫斯科民族友谊大学数列极限存在准则

江苏省数列极限存在准则

南京工业大学数列极限存在准则

设数列{xn}为x1=1，xn+1= (n=1,2,…)，求证数列{xn}收敛，并求其极限.

设数列{xn}为x1=，x2=，xn+2=(n=1,2,…)，求证数列{xn}收敛，并求其极限.

设函数f(x)在x=a可导，且f(a)≠0，则=__________。

对∀p为正整数，|un+p - un |=0，则un 存在.

证明不等式1/< - <1/ n=1,2,…

设xn=1+1/√3+1/√5+⋯+1/ - ，证明xn 存在.

设0<a<1，求极限(a+2a2+3a3+⋯+nan).