大学数学-竞赛试题(江苏省 1996年导数概念)

填空题（1996年江苏省）

设当x=0时，f(sinx)= f²(sinx)，f'(x)≠0，则f(0)=__________.

答案解析

因为f(x)在x=0处可导，所以f(x)在x=0处连续.利用导数的定义得 ==●=f'(0)==●[f(sinx)+f(0)]=2f(0)• ●=2f(0)•f'(0)由题意得f'(0)= 2f(0)...

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讨论

大学数学

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，欲使F(x)在x=0可导，则必有【】

设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.

函数y=sinx|sinx|（其中|x|≤π/2）的反函数为____________________.

已知函数f(x)是周期为π的奇函数，且当x∈（0，π/2）时f(x)=sinx-cosx+2，则当x∈（π，π/2）时f(x)=____________________.

设数列{xn}满足0<x1<π，xn+1=sinxn（n=1,2,...）.证明xn存在，并求该极限.

设函数f(x)在（-∞,+∞）内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是【】

考研无穷小与无穷大

设a≠，则ln= .

考研两个重要极限

考研数列极限存在准则

导数概念

函数f(x)=(x2-x-2)|x3-x|不可导点的个数是【】

设f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处【】

已知函数f(x)在x=1处可导且(f()-3f(1+sin2⁡x))/x2 =2，求f'(1).

设函数f:R→R可微且导数有界，则f【】

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(x)=0是F(x)在x=0处可导的【】

设f(x)在x=a的某个领域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是【】

设f(x)在x=a处可导，则(f(a+x)-f(a-x))/x等于【】

设f(x)在[a,b]上单调，证明其变上限积分F(x)=f(t)dt在每一x∈(a,b)的单侧导数F+'(x),F_'(x)均存在.

已知f'(3)=2，则(f(3-h)-f(3))/2h=________.

若f(x)在x0的领域内有定义，在x0可导，则f(x)在x0的某领域内连续.

导数与微分

设y=etan⁡(1/x) ∙sin(1/x)，则y'=________________.

说明理由并证明：在什么条件下，方程F(x1,x2,⋯,xn )=0都能在x0∈Rn附近唯一确定可微函数xj=xj (x1,⋯,xj-1,xj+1,⋯,xn).并在x0附近，求(∂x1)/(∂x2 )(x)∙(∂x2)/(∂x3 )(x)⋯(∂xn-1)/(∂xn )(x)∙(∂xn)/(∂x1 )(x).

设函数y=f(x)由确定，则【】

若y=f(x)，有f'(x0)=1/2，则当∆x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是【】

设tany=x+y，则dy=__________.

已知，求dy/dx,d2y/dx2

已知函数y=y(x)由方程x2+xy+y3=3确定，则y''(1)=__________.

已知，求d2y/dx2.

已知y=arctanx.(1)证明：2xy'+(1+x2 )y''=0;(2)求y(n).

已知f(x)在0处n+k(k≥1)次可微，且f(n+i) (0)=0,f(n+k) (0)≠0,i=0,1,⋯,k-1f(x)=f(0)+f' (0)x+⋯+f(n-1)(0)/(n-1)! x(n-1)+f(n)(θx)/n! xn，求⁡θ.