大学数学-考研试题(北京理工大学 2022年高阶导数)

问答题（2022年北京理工大学）

已知y=arctanx.

(1)证明：2xy'+(1+x² )y''=0;

(2)求y⁽ⁿ⁾.

答案解析

(1)由y=arctanx，可得y'=1/(1+x2),y''=(-2x)/(1+x2)2,∴2xy'+(1+x2) y''=2x∙1/(1+x2)+(1+x2)∙(-2x)/(1+x2)2=0.(2)由(1)得f' (x)=1/(1+x2)=1/2i (1/(x-i)-1/(x+i)),∴f(n) (x)=1/2i [(1/(x-i))(n-1)-(1/(x+i))(n-1) ]=((-...

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讨论

求导公式

设f(x)=x(x+1)(x+2)∙⋯∙(x+n)，则f'(0)=____________.

y=x1/x，则dy/dx=__________。

设y=ln⁡(1+ax)，其中a是非零常数，则y'=__________，y''=__________.

设f(t)=⁡t(1+1/x)2x，则f' (t)=________________.

已知y=1+xexy，求 y'|x=0及y''|x=0.

求极限sin4x/(-1)

计算∫Lxdy-ydx，其中L:x2+y2=1，取逆时针方向.

求极限( -√n)/

已知z=f(u,v)，其中u=2x+y,v=x2，求∂z/∂x,∂z/∂y,∂2/∂x2,∂2z/∂x∂y.

证明：tanx/x > x/sinx，其中x∈(0,π/2).

高阶导数

设y=y(x)由方程xef(y)=eyln29确定，其中具有二阶导数，f'≠1，则= ____________________.

设f(x)=(n=1,2,3,…)，求f(n)(x).

设y=ln(1-x2)，求y(n).

设函数y=y(x)由参数方程确定，则=_______.

已知函数f(x)具有任意阶导数，且f' (x)=[f(x)]2，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数f(n) (x)等于【】

设f(x)=3x3+x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高阶n为【】

已知函数f(x)=esinx+e-sinx，则f'''(2π)=__________.

已知f(x)在0处n+k(k≥1)次可微，且f(n+i) (0)=0,f(n+k) (0)≠0,i=0,1,⋯,k-1f(x)=f(0)+f' (0)x+⋯+f(n-1)(0)/(n-1)! x(n-1)+f(n)(θx)/n! xn，求⁡θ.

已知f(x)在(-1,1)上有任意阶导数，f(0)=0，且对任意的正整数n都有f(n)(0)=0.设存在C≥0，使得对任意的正整数n和x∈(-1,1)，有|f(n)(x)|≤n!Cn.证明：f(x)在(-1,1)上恒为零.

已知：z=x2 F(y/x2)，其中F(u)的一阶偏导数存在，证明：x ∂z/∂x+2y ∂z/∂y=2z.

导数与微分

设f(x)在x=a的某个领域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是【】

已知y=arcsine-√x，求y'.

设y=etan⁡(1/x) ∙sin(1/x)，则y'=________________.

求由方程2y-x=(x-y)ln⁡(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy.

函数f(x)=(x2-x-2)|x3-x|不可导点的个数是【】

设f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处【】

已知函数f(x)在x=1处可导且(f()-3f(1+sin2⁡x))/x2 =2，求f'(1).

设函数f:R→R可微且导数有界，则f【】

设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义，对任意x都有f(x+1)=2f(x)，且当0≤x≤1时f(x)=x(1-x2)，试判断在x=0处函数f(x)是否可导.

设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，欲使F(x)在x=0可导，则必有【】