大学数学-考研试题(重庆大学 2003年不定积分的概念与性质)

判断题（2003年重庆大学）

定义函数f(x)在[a,b]可积时，必须选假定f(x)在[a,b]上有界.

答案解析

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讨论

大学数学

若f(x),g(x)在[a,b]上可导，∀x∈[a,b],f' (x)≤g'(x)，则∀x∈[a,b],f(x)≤g(x).

若f(x)在x0的领域内有定义，在x0可导，则f(x)在x0的某领域内连续.

设f(x)在(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界.

对∀p为正整数，|un+p - un |=0，则un 存在.

设fn (x)在(a,b)上单调递增，且有实数列{Mn },n=1,2,3,…使得∀x∈(a,b),|fn (x)|≤Mn，若fn (x)在(a,b)上一致收敛于f(x)，证明：(1)存在M>0，使得∀x∈(a,b),|f(x)|≤M;(2)极限f(x)存在.

已知f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内，fx(x,y)连续，fy(x0,y0)存在，证明：f(x,y)在(x0,y0)可微.

如函数f(x)在[0,+∞)上一致连续，且无穷积分f(x)dx收敛，证明：f(x)=0.

设f(x)在[0,1]上连续，f(x)dx=0,xf(x)dx=1，则存在x0∈[0,1]使|f(x0 )|>4.

设F=yz(2x+y+z)i+xz(x+2y+z)j+xy(x+y+2z)k.求：F沿螺线r=acost∙i+asint∙j+bt∙k的一段（t:0→π/4）所作的功.

求级数xn/(ln⁡(n!))的收敛半径，并讨论收敛区间端点的收敛情况.

不定积分

设f(x)在[0,+∞)上连续，在(0,+∞)内可导，g(x)在(-∞,+∞)内有定义且可导，f(0)=g(0)=1，又当x>0时f(x)+g(x)=3x+2，f’(x)-g’(x)=1f’(2x)-g’(-2x)=-12x2+1求f(x)与g(x)的表达式。

浙江省换元积分法

dx=__________。

∫e(x)dx=F(x)+c，则∫e-xf(e-x)dx= 【】

设f′(sin2x)=cos2x+tan2x，0<x<1，试求函数f(x).

已知定义于R的函数f(x)满足f′(lnx)=又f(0)=1，则f(x)=__________。

求∫(1+x)/(x(1+xex)) dx.

函数f(x)=的一个原函数为【】

计算∫lnx/(1-x)2 dx.

设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，则d∫f(x) dx等于【】

不定积分的概念与性质

求∫dx/(xln2x)

∫f'(x)dx=__________.

连续函数的不定积分一定存在.

设f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上的连续点有无限多个.

当λ,μ为何值时，方程组有惟一解？无解？有无穷解？无穷解时并求其全解.

设σ为n维线性空间V的一个线性变换，σ2=σ，证明：(1)σ特征值为0，1;(2)设V0,V1分别为0，1对应的特征子空间，则V=V0⊕V1;(3)若σ只有0特征值，则σ为零变换.

设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵且A11≠0,b≠0，其中A11为A的a11对应的代数余子式.证明：AX=b有无穷多个解⟺b是A* X=0的解.

求不定积分∫dx/(x3+x2+x+1).

重庆大学数列极限

求不定积分∫(ln⁡(1+x2))/x3 dx