大学数学-考研试题(理工数学Ⅱ 2023年不定积分的概念与性质)

单项选择（2023年理工数学Ⅱ）

函数f(x)=的一个原函数为【】

A、F(x)=

B、F(x)=

C、F(x)=

D、F(x)=

答案解析

D

讨论

大学数学

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=(Ⅰ)求X与Y的方差；(Ⅱ)X与Y是否相互独立；(Ⅲ)求Z=X²+Y²的概率密度.

已知二次型f(x1,x2,x3 )=x12+2x22+2x32+2x1 x2-2x1 x3,g(y1,y2,y3 )=y12+y22+y32+2y2 y3.(Ⅰ)求可逆变换x=Py，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3);(Ⅱ)是否存在正交变换x=Qy，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3).

设函数f(x)在[-a,a]上具有二阶连续导数，证明：(Ⅰ)若f(x)=0，则存在ξ∈(-a,a)，使得f''(ξ)=1/a² [f(a)+f(-a)]；(Ⅱ)若f(x)在(-a,a)内取得极值，则存在η∈(-a,a)，使得|f''(η)|≥1/2a²|f(a)-f(-a)|.

设空间有界区域Ω中，柱面x²+y²=1与平面z=0和x+z=1围成，Σ为Ω边界的外侧，计算曲面积分I=∰Σ2xzdydz+xzcosydzdy+3yzsinxdxdy

求函数f(x,y)=(y-x²)(y-x³)的极值.

设曲线y=y(x)(x>0)经过点(1,2)，该曲线上任一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距.(Ⅰ)求y(x)；(Ⅱ)求函数f(x)=y(t)dt在(0,+∞)上的最大值.

设随机变量X与Y相互独立，且X~B(1,1/3),Y~(2,1/2)，则P{X=Y}=______.

已知向量α1=,α2=,α3=,β=,γ=k1 α1+k2 α2+k3 α3，若γTαi=βTαi (i=1,2,3)，则k12+k22+k32=______.

设连续函数f(x)满足f(x+2)-f(x)=x,f(x)dx=0，则f(x)dx=______.

设f(x)为周期为2的周期函数，且f(x)=1-x,x∈[0,1]，若f(x)=a0/2+ancosnπx，则a2n =________.

不定积分

设f′(sin2x)=cos2x+tan2x，0<x<1，试求函数f(x).

已知定义于R的函数f(x)满足f′(lnx)=又f(0)=1，则f(x)=__________。

设f(x)在[0,+∞)上连续，在(0,+∞)内可导，g(x)在(-∞,+∞)内有定义且可导，f(0)=g(0)=1，又当x>0时f(x)+g(x)=3x+2，f’(x)-g’(x)=1f’(2x)-g’(-2x)=-12x2+1求f(x)与g(x)的表达式。

浙江省换元积分法

dx=__________。

∫e(x)dx=F(x)+c，则∫e-xf(e-x)dx= 【】

求不定积分∫(ln⁡(1+x2))/x3 dx

定义函数f(x)在[a,b]可积时，必须选假定f(x)在[a,b]上有界.

设f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上的连续点有无限多个.

连续函数的不定积分一定存在.

不定积分的概念与性质

求∫dx/(xln2x)

设函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，则d∫f(x) dx等于【】

∫f'(x)dx=__________.

设f(x)=x(x+1)(x+2)∙⋯∙(x+n)，则f'(0)=____________.

设tany=x+y，则dy=__________.

微分方程y''-y=ex+1的一个特解应具有形式（式中a,b为常数）【】

设f(x)在x=a的某个领域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是【】

已知y=arcsine-√x，求y'.

求∫dx/(xln2x)

求(2sinx+cosx)1/x