已知二次型f(x1,x2,x3 )=x12+2x22+2x32+2x1 x2-2x1 x3,g(y1,y2,y3 )=y12+y22+y32+2y2 y3.
(Ⅰ)求可逆变换x=Py，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3);
(Ⅱ)是否存在正交变换x=Qy，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3).
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问答题（2023年理工数学Ⅰ）
答案解析
(Ⅰ)利用配方法将f(x1,x2,x3 ),g(y1,y2,y3 )化为规范型，从而建立两者间的关系.先将f(x1,x2,x3 )化为规范型：f(x1,x2,x3 )=x12+2x22+2x32+2x1 x2-2x1 x3=(x1+x2-x3 )2+x22+x32+2x2 x3=(x1+x2-x3 )2+(x2+x3 )2令，则f(x1,x2,x3 )=z12+z22.即=，使得f(x1,x2,x3 )=z12+z22.再将g(y1,y2,y3 )化为规范型：g(y1,y2,y3 )=y12+y22+y32+2y2 y3=y12+...
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设空间有界区域Ω中，柱面x²+y²=1与平面z=0和x+z=1围成，Σ为Ω边界的外侧，计算曲面积分I=∰Σ2xzdydz+xzcosydzdy+3yzsinxdxdy
设曲线y=y(x)(x>0)经过点(1,2)，该曲线上任一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距.(Ⅰ)求y(x)；(Ⅱ)求函数f(x)=y(t)dt在(0,+∞)上的最大值.
设随机变量X与Y相互独立，且X~B(1,1/3),Y~(2,1/2)，则P{X=Y}=______.
已知向量α1=,α2=,α3=,β=,γ=k1 α1+k2 α2+k3 α3，若γTαi=βTαi (i=1,2,3)，则k12+k22+k32=______.
设连续函数f(x)满足f(x+2)-f(x)=x,f(x)dx=0，则f(x)dx=______.
设f(x)为周期为2的周期函数，且f(x)=1-x,x∈[0,1]，若f(x)=a0/2+ancosnπx，则a2n =________.
曲面z=x+2y+ln(1+x2+y2)在(0,0,0)处的切平面方程为__________.
当x→0时，函数f(x)=ax+bx2+ln(1+x)与g(x)=ex^2 -cosx是等价无穷小，则ab=______.
已知α1=,α2=,α3=，记β1=α1,β2=α2 - kβ1,β3=α3 - l1 β1 - l2 β2，若β1,β2,β3 两两正交，则l1,l2依次为【 】
已知矩阵A=与B=相似.(1)求x与y;(2)求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P.
已知ξ=是矩阵A=的一个特征向量.(1)试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值；(2)问A能否相似于对角阵？说明理由.
设A为n阶矩阵，|A|≠0,A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值____________.
设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是__________.
求微分方程y'''+6y''+(9+a2) y'=1的通解，其中常数a>0.
设在一次试验中，事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为__________；而事件A至多发生一次的概率为__________.
设f(t)=t(1+1/x)2tx ，则f' (t)=__________.
若函数y=f(x)可导，且f'(x0)=1/2，则当∆x→0时，该函数在x=x0处的微分dy是【 】
设空间区域Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0,Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0，则【 】
n维向量组α1,α2,…,αs (3≤s≤n)线性无关的充要条件是【 】
设f(x)=,f[φ(x)]=1-x，且φ(x)≥0，求φ(x)及其定义域.
设函数y=y(x)满足微分方程y''-3y'+2y=2ex，其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点处的切线重合，求函数y=y(x).