大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1999年矩阵的特征值与特征向量)

填空题（1999年理工数学Ⅰ）

设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是__________.

答案解析

n,0,…,0

讨论

大学数学

y''-4y=e2x的通解为____________.

d/dx sin⁡(x-t)2dt=________.

(1/x2 -1/xtanx)=______.

设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分，标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.附表：t分布表 P{t(n)≤t_p (n)}=p

从正态总体N(3.4,62)抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？附表：标准正态分布表Φ(z)= dt.z 1.28 1.645 1.96 2.33Φ(z) 0.900 0.950 0.975 0.990

设两个随机变量X、Y相互独立，且都服从均值为0、方差为1/2的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差.

已知线性方程组(I)的一个基础解系为(b11,b12,…,b1 2n)T,(b21,b22,…,b2 2n)T,…,(bn1,bn2,…,bn 2n)T，试写出线性方程组(II)有通解，并说明理由.

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0，证明向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的.

已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4，可以经过正交变换=P化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a,b的值和正交矩阵P.

设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在x0∈(0,1)，使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导，且f'(x)>-2f(x)/x，证明(1)中的x0是唯一的.

矩阵的特征值与特征向量

设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=λ3=1，对应于λ1的特征向量为ξ1=(0,1,1)T，求A.

已知ξ=是矩阵A=的一个特征向量.(1)试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值；(2)问A能否相似于对角阵？说明理由.

设A为n阶矩阵，|A|≠0,A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值____________.

令n为正整数。对任一正整数k，记0k=为k×k的零矩阵。令Y=为一个(2n+1)×(2n+1)矩阵，其中A=(xi,j)1≤i≤n,1≤j≤n+1是一个n×(n+1)实矩阵且At记A的转置矩阵，即(n+1)×n的矩阵，(j,i)处元素为xi,j.(i)证明题（10分）称复数λ为k×k矩阵X的一个特征值，如果存在非零列向量v=(x1,…,xk)t使得Xv=λv.证明：0是Y的特征值且Y的其他特征值形如±，其中非负实数λ是AAt的特征值。(ii)证明题（15分）令n=3且a1,a2,a3,a4是4个互不相等的正实数。记a=以及xi,j=ai δi,j+aj δ4,j-1/a2 (ai2+a42)aj(1≤i≤3,1≤j≤4)，其中δi,j= .证明：Y有7个互不相等的特征值。

A=，则A的特征值为【】

A为4阶方阵，其特征值为-1,1,2,3，A*为A的伴随矩阵，则|A*|=__________。

设A为数域P上的一个n级矩阵，如果f(A)=0，则称f(x)以A为根。次数最低首项为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式，证明矩阵A的最小多项式是惟一的。

设A,B是n×n矩阵，φ(λ)为A的特征多项式，证明φ(B)是奇异矩阵的充要条件是A,B有公共的特征值。

设A为n×n复矩阵，证明：存在一个n维向量α，使α，Aα，…，An-1α线性无关的充要条件是A的每个特征向量值恰有一个线性无关的特征向量。

三阶方阵A的特征值为1,-1,2，则A2+4A-1的特征值=________.

特征值与正交计算

已知α1=,α2=,α3=，记β1=α1,β2=α2 - kβ1,β3=α3 - l1 β1 - l2 β2，若β1,β2,β3 两两正交，则l1,l2依次为【】

设σ为n维线性空间V的一个线性变换，σ2=σ，证明：(1)σ特征值为0，1;(2)设V0,V1分别为0，1对应的特征子空间，则V=V0⊕V1;(3)若σ只有0特征值，则σ为零变换.

假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明：(1) 1/λ为A-1的特征值；(2) |A|/λ为A的伴随矩阵A*的特征值.

设3阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=3，对应的特征向量依次为ξ1=,ξ2=,ξ3=，又向量β=.(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出；(2)求An β(n为自然数).

若A=相似于对角阵，则a与b的关系为________.

已知矩阵A=与B=相似.(1)求x与y;(2)求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P.

设矩阵A满足：对任意x1,x2,x3均有A=(1)求A.(2)求可逆矩阵P与对角矩阵A，使得P-1AP=Λ.

下列是A3×3可对角化的充分而非必要条件是【】

设A为3阶矩阵，A=，则A的特征值为1,-1,0的充分必要条件是【】

已知二次型f(x1,x2,x3 )=x12+2x22+2x32+2x1 x2-2x1 x3,g(y1,y2,y3 )=y12+y22+y32+2y2 y3.(Ⅰ)求可逆变换x=Py，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3);(Ⅱ)是否存在正交变换x=Qy，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3).