大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1989年矩阵的特征值与特征向量)

证明题（1989年理工数学Ⅰ）

假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明：

(1) 1/λ为A^-1的特征值；

(2) |A|/λ为A的伴随矩阵A*的特征值.

答案解析

设对应特征值λ的一个特征向量为x,x≠0，则有Ax=λx.(1)因为A为可逆矩阵，故λ≠0，则由Ax=λx，有A-1 x=1/λ x,x≠0，根据定义知，1/λ为A-1的特征值.(2)由A-1=A*/...

查看完整答案

讨论

大学数学

问λ为何值时，线性方程组有解？并求出解的一般形式.

证明方程lnx=x/e-dx在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同实根.

设f(x)=sinx-(x-t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(x).

设，求dy/dx,(d2 y)/(dx2 ).

求(1/x-1/(ex-1)).

设f(x)在x=a处可导，则(f(a+x)-f(a-x))/x等于【】

函数f(x)=xsinx

f(x)=|xsinx| ecosx,-∞<x<+∞是【】

f'(2x)dx=__________.

矩阵的特征值与特征向量

设σ为n维线性空间V的一个线性变换，σ2=σ，证明：(1)σ特征值为0，1;(2)设V0,V1分别为0，1对应的特征子空间，则V=V0⊕V1;(3)若σ只有0特征值，则σ为零变换.

令n为正整数。对任一正整数k，记0k=为k×k的零矩阵。令Y=为一个(2n+1)×(2n+1)矩阵，其中A=(xi,j)1≤i≤n,1≤j≤n+1是一个n×(n+1)实矩阵且At记A的转置矩阵，即(n+1)×n的矩阵，(j,i)处元素为xi,j.(i)证明题（10分）称复数λ为k×k矩阵X的一个特征值，如果存在非零列向量v=(x1,…,xk)t使得Xv=λv.证明：0是Y的特征值且Y的其他特征值形如±，其中非负实数λ是AAt的特征值。(ii)证明题（15分）令n=3且a1,a2,a3,a4是4个互不相等的正实数。记a=以及xi,j=ai δi,j+aj δ4,j-1/a2 (ai2+a42)aj(1≤i≤3,1≤j≤4)，其中δi,j= .证明：Y有7个互不相等的特征值。

A=，则A的特征值为【】

A为4阶方阵，其特征值为-1,1,2,3，A*为A的伴随矩阵，则|A*|=__________。

设A为数域P上的一个n级矩阵，如果f(A)=0，则称f(x)以A为根。次数最低首项为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式，证明矩阵A的最小多项式是惟一的。

设A,B是n×n矩阵，φ(λ)为A的特征多项式，证明φ(B)是奇异矩阵的充要条件是A,B有公共的特征值。

设A为n×n复矩阵，证明：存在一个n维向量α，使α，Aα，…，An-1α线性无关的充要条件是A的每个特征向量值恰有一个线性无关的特征向量。

三阶方阵A的特征值为1,-1,2，则A2+4A-1的特征值=________.

设矩阵A满足：对任意x1,x2,x3均有A=(1)求A.(2)求可逆矩阵P与对角矩阵A，使得P-1AP=Λ.

设A为3阶矩阵，A=，则A的特征值为1,-1,0的充分必要条件是【】

特征值与正交计算

若A=相似于对角阵，则a与b的关系为________.

已知矩阵A=与B=相似.(1)求x与y;(2)求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P.

已知α1=,α2=,α3=，记β1=α1,β2=α2 - kβ1,β3=α3 - l1 β1 - l2 β2，若β1,β2,β3 两两正交，则l1,l2依次为【】

下列是A3×3可对角化的充分而非必要条件是【】

已知ξ=是矩阵A=的一个特征向量.(1)试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值；(2)问A能否相似于对角阵？说明理由.

设A为n阶矩阵，|A|≠0,A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值____________.

已知二次型f(x1,x2,x3 )=x12+2x22+2x32+2x1 x2-2x1 x3,g(y1,y2,y3 )=y12+y22+y32+2y2 y3.(Ⅰ)求可逆变换x=Py，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3);(Ⅱ)是否存在正交变换x=Qy，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3).

设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是__________.

设实线性空间R2×2上的双线性函数ρ(X,Y)=tr(XT SY)，其中S∈R2×2.(1)求所有S，使得ρ是R2×2上的内积;(2)求所有S，使得A(X)=XT是内积空间(R2×2,ρ)上的正交变换.

设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=λ3=1，对应于λ1的特征向量为ξ1=(0,1,1)T，求A.