大学数学-考研试题(重庆大学 2004年矩阵的特征值与特征向量)

填空题（2004年重庆大学）

三阶方阵A的特征值为1,-1,2，则A²+4A^-1的特征值=________.

答案解析

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讨论

大学数学

设γ1,γ2,α,β皆为三维列向量，A=(α,3γ1,3γ2 ),B=(β,γ1,2γ2)且|A|=18,|B|=4，则|A-B|=________.

三阶行列式有2个元素为4，其余为±1，则此行列式可能的最大值为________.

已知矩阵：A=,B=,C= 计算：(cosα∙A+cosβ∙B+cosγ∙C)3=？其中，cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1,cosα+2cosβ+3cosγ=√3/3.提示：设E=，并引入三个矩阵：A'=A-E,B'=B-2E,C'=C-3E [注意：(cosα∙A'+cosβ∙B'+cosγ∙C')2=？]后，再作计算.

已知四维实矢量空间的矢量（表示成矩阵）：=,满足如下条件：以及T∙=9/4（其中，T表示对矩阵取置换），试求出所有这样的四维实矢量的集合：{ }=?

由曲线y=y(x)=(-√3<x≤0)和射线y=-√3 x(x≤0)，以及由曲线y=y(x)=(-√3<x≤0)和射线y=-√3 x(x≤0)，直线x=-√3围成了两块平面图形F1和F2（其中，F1的边界长度为有限值，而F2的边界长度为无穷大）.(1)计算出平面图形F1的面积S1=？(2)计算出平面图形F2的面积S2=？提示：采用平面极坐标(r,θ)作计算较为简单.[不定积分公式：∫tg2θdθ=tgθ-θ+C可直接引用]

设曲面：z=z(x,y)=x4+1/2 (√5-4y)∙x2+y2，柱壁面：y=x2-5/9，圆柱体：x2+y2≤1，在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”：G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”：，[t∈T；(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”：L=？提示：(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面：y=x2-5/9与圆柱面：x2+y2=1满足相交或满足相切？[不定积分公式：∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

已知一个二元实变函数：z=f(x,y)=sin2x - sinx∙cosy+cos2y;[其中，(x,y)∈全平面].(1)求出函数z=f(x,y)在其定义域里的最小值：zmin=？并指出在其定义域何点处，函数z=f(x,y)获得最小值zmin？(2)求出函数z=f(x,y)在其定义域里的最大值：zmax=？并指出在其定义域何点处，函数z=f(x,y)取得最大值zmax？提示：首先，可作变量变换：X=sinx,Y=cosy；然后，考虑关于X和Y的二元实变函数z=F(X,Y).

两实变量x与y之间存在“变化关系”，且“变化关系”满足方程：e-1/3 x+2y+(e10/3 - 1)∙e-1/3 x+y - ex^3+2x^2-2x =0.(1)确定出y关于x的单值、连续的函数关系式(解析式)：y=f(x)=?及其函数f(x)的定义域{x}=?提示：求解函数方程以及求解其后问题时，令：e10/3-1=2a，可便于计算分析处理.(2)求出函数y=f(x)的一阶导数：dy/dx=f'(x)=?及其可导区域{x}=?(3)绘出函数y=f(x)的图像草图.提示:(i)首先寻找出函数f(x)的三个“零点”：xk=? [其中，f(xk )=0,(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”xl[其中，f' (xl' )=0,(l=1,2)](ii)然后，考察函数f(x)的渐近性质： f(x)|x→±∞→?(iii)最后，利用(i)和(ii)的结果，便可绘制出函数y=f(x)的图像草图.[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程，可采用(分组分解法)因式分解后再作求解]

连续函数的不定积分一定存在.

设f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上的连续点有无限多个.

矩阵的特征值与特征向量

令n为正整数。对任一正整数k，记0k=为k×k的零矩阵。令Y=为一个(2n+1)×(2n+1)矩阵，其中A=(xi,j)1≤i≤n,1≤j≤n+1是一个n×(n+1)实矩阵且At记A的转置矩阵，即(n+1)×n的矩阵，(j,i)处元素为xi,j.(i)证明题（10分）称复数λ为k×k矩阵X的一个特征值，如果存在非零列向量v=(x1,…,xk)t使得Xv=λv.证明：0是Y的特征值且Y的其他特征值形如±，其中非负实数λ是AAt的特征值。(ii)证明题（15分）令n=3且a1,a2,a3,a4是4个互不相等的正实数。记a=以及xi,j=ai δi,j+aj δ4,j-1/a2 (ai2+a42)aj(1≤i≤3,1≤j≤4)，其中δi,j= .证明：Y有7个互不相等的特征值。

A=，则A的特征值为【】

A为4阶方阵，其特征值为-1,1,2,3，A*为A的伴随矩阵，则|A*|=__________。

设A为数域P上的一个n级矩阵，如果f(A)=0，则称f(x)以A为根。次数最低首项为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式，证明矩阵A的最小多项式是惟一的。

设A,B是n×n矩阵，φ(λ)为A的特征多项式，证明φ(B)是奇异矩阵的充要条件是A,B有公共的特征值。

设A为n×n复矩阵，证明：存在一个n维向量α，使α，Aα，…，An-1α线性无关的充要条件是A的每个特征向量值恰有一个线性无关的特征向量。

设A为3阶矩阵，A=，则A的特征值为1,-1,0的充分必要条件是【】

设矩阵A满足：对任意x1,x2,x3均有A=(1)求A.(2)求可逆矩阵P与对角矩阵A，使得P-1AP=Λ.

已知ξ=是矩阵A=的一个特征向量.(1)试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值；(2)问A能否相似于对角阵？说明理由.

设A为n阶矩阵，|A|≠0,A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值____________.

特征值与正交计算

已知α1=,α2=,α3=，记β1=α1,β2=α2 - kβ1,β3=α3 - l1 β1 - l2 β2，若β1,β2,β3 两两正交，则l1,l2依次为【】

设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是__________.

已知二次型f(x1,x2,x3 )=x12+2x22+2x32+2x1 x2-2x1 x3,g(y1,y2,y3 )=y12+y22+y32+2y2 y3.(Ⅰ)求可逆变换x=Py，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3);(Ⅱ)是否存在正交变换x=Qy，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3).

设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=λ3=1，对应于λ1的特征向量为ξ1=(0,1,1)T，求A.

下列是A3×3可对角化的充分而非必要条件是【】

设实线性空间R2×2上的双线性函数ρ(X,Y)=tr(XT SY)，其中S∈R2×2.(1)求所有S，使得ρ是R2×2上的内积;(2)求所有S，使得A(X)=XT是内积空间(R2×2,ρ)上的正交变换.

任意置换方阵可复相似于对角阵。

设σ为n维线性空间V的一个线性变换，σ2=σ，证明：(1)σ特征值为0，1;(2)设V0,V1分别为0，1对应的特征子空间，则V=V0⊕V1;(3)若σ只有0特征值，则σ为零变换.

设3阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=3，对应的特征向量依次为ξ1=,ξ2=,ξ3=，又向量β=.(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出；(2)求An β(n为自然数).

假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明：(1) 1/λ为A-1的特征值；(2) |A|/λ为A的伴随矩阵A*的特征值.