大学数学-竞赛试题(阿里巴巴 2021年5月矩阵的特征值与特征向量)

证明题（2021年5月阿里巴巴）

令n为正整数。对任一正整数k，记0_k=为k×k的零矩阵。令

Y=

为一个(2n+1)×(2n+1)矩阵，其中A=(x_i,j)_{1≤i≤n,1≤j≤n+1}是一个n×(n+1)实矩阵且A^t记A的转置矩阵，即(n+1)×n的矩阵，(j,i)处元素为x_i,j.

(i)证明题（10分）称复数λ为k×k矩阵X的一个特征值，如果存在非零列向量

v=(x₁,…,x_k)^t

使得X_v=λv.证明：0是Y的特征值且Y的其他特征值形如±，其中非负实数λ是AA^t的特征值。

(ii)证明题（15分）令n=3且a₁,a₂,a₃,a₄是4个互不相等的正实数。记

a=

以及

x_i,j=a_i δ_i,j+a_j δ_4,j-1/a² (a_i²+a₄²)a_j

(1≤i≤3,1≤j≤4)，其中δ_i,j= .证明：Y有7个互不相等的特征值。

答案解析

(i)记In=为n×n阶恒同矩阵.作初等变换可证det⁡(λI2n+1-Y)=λ det⁡(λ2 In-AAt ).所以，0是Y的特征值且Y的其他特征值形如±，其中λ是AAt的非负实数特征值.(ii)记u=(a1,a2,a3,a4 ),v=((a12+a42)/a,(a22+a42)/a,(a12+a42)/a).计算得AAt=diag{a12,…,a32 }+ut u-vt v.设f(s)=det⁡(sI...

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讨论

矩阵的特征值与特征向量

设3阶矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=3，对应的特征向量依次为ξ1=,ξ2=,ξ3=，又向量β=.(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出；(2)求An β(n为自然数).

设矩阵A满足：对任意x1,x2,x3均有A=(1)求A.(2)求可逆矩阵P与对角矩阵A，使得P-1AP=Λ.

设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=λ3=1，对应于λ1的特征向量为ξ1=(0,1,1)T，求A.

已知ξ=是矩阵A=的一个特征向量.(1)试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值；(2)问A能否相似于对角阵？说明理由.

设A为n阶矩阵，|A|≠0,A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值____________.

设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是__________.

设A为3阶矩阵，A=，则A的特征值为1,-1,0的充分必要条件是【】

设σ为n维线性空间V的一个线性变换，σ2=σ，证明：(1)σ特征值为0，1;(2)设V0,V1分别为0，1对应的特征子空间，则V=V0⊕V1;(3)若σ只有0特征值，则σ为零变换.

假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明：(1) 1/λ为A-1的特征值；(2) |A|/λ为A的伴随矩阵A*的特征值.

三阶方阵A的特征值为1,-1,2，则A2+4A-1的特征值=________.

相似矩阵与方阵的对角化

下列是A3×3可对角化的充分而非必要条件是【】

任意置换方阵可复相似于对角阵。

若A=相似于对角阵，则a与b的关系为________.

已知矩阵A=与B=相似.(1)求x与y;(2)求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P.

蚂蚁森林是全球最大的个人碳账户平台，该平台以量化方式记录每个人的低碳行为。当支付宝用户收集到足够的“能量”时，他/她可以向蚂蚁森林申请种植一棵真正的树。截至2019年4月22日(世界地球曰)，支付宝蚂蚁森林的5亿用户已经在中国西北地区种植了1亿棵真树，总面积为11.2万公顷，保护着总面积为1.2万公顷的保护地。1.本题两小问中考虑在一个3×4的长方形区域的每个小方格的中心点种树，要求在横、竖、斜3个方向上都不能存在连续的3颗(及以上)树。令1表示可以种树，0表示不可以种树。满足种树条件的示意图为不满足种树条件的示意图为(a)请问在一个3×4的区域里，最多能种多少颗树，并给出一种种植的方式。(b) 在满足上一问最多能种多少颗树答案的前提下，请问一共有多少种种法，给出思路和答案。2. 考虑一个由从左到右的n个小方格组成的1×n的区域，从左向右依次在每个小方格种一棵树，一共种n棵。树的种类只有两种：胡杨和樟子松。假设在第一个小方格种植的树是胡杨的概率是r。后续种树的规则为：如果前一个小方格种的是胡杨，则本格种胡杨的概率为s；如果前一个小方格种的是樟子松，则本格种樟子松的概率为t,0<r,s,t<1。(a)假设r=1/3,s+t≠1。是否存在s和t，使得对任意的i,2≤i≤n，在第i个小方格种植的树是胡杨的概率都等于一个跟i无关的常数？如果存在，请给出s和t的关系；如果不存在，请说明理由。(b) 假设r=1/3,s=3/4,t=4/5。假设我们观察到第2019个小方格里种植的树是胡杨，但我们观察不到在其它小方格里种植的是哪种树。请问在第一个小方格里种植的树是胡杨的概率是多少？3.为了种树的可持续发展控制成本，蚂蚁森林希望在知道用户申请数量之前从公益机构获得种植配额。令随机变量D1和D2分别表示支付宝用户对胡杨和樟子松的申请数量。将Di的分布函数记为Fi，其均值和方差分别表示为μi和σi2(i=1,2)。假设蚂蚁森林只知道μi和σi2 (i=1,2)但并不知道F的其它信息。蚂蚁森林需要确定两种树的配额，分别记为Qi (i=1,2)。由于环境的承受能力，种植的树木总数不能超过给定的常数M，即Q1+Q2≤M并且假设M≥μ1+μ2。已知两种树的订购成本分别为cQi (i=1,2)。如果预留配额Qi小于种树申请数量Di，即Qi≤Di，则增加额外成本m[Di-Qi ]+ (i=1,2)。这里[x]+≜max⁡{x,0}.m,c,μi,σi为已知常数且满足关系(m-c)/c>(σ1/μ1 )2>(σ2/μ2 )2.蚂蚁森林希望选择种树配额Qi≥0(i=1,2)使得在最坏情况下总成本的期望极小，其中最坏情况是针对所有可能的均值为μi、方差为σi2的分布函数Fi。从数学上讲，目标是求解以下优化问题：,(1)subject to Q1+Q2≤M,Q1,Q2≥0其中Fi是所有均值为μi、方差为σi2 (i=1,2)的累积分布函数的集合，其支撑集为非负数。问题：请求解问题(1)，推导最优种树配额Qi,i=1,2的显式表达式。

2019年第一届阿里巴巴数学竞赛的优胜者们在参加集训营的时候，集体送给主办方负责人的礼物，是一个有60个全等的三角形面的多面体。从图中我们可以看到，这个多面体的表面是60个全等的空间四边形拼接而成的。一个空间n边形是指由一个平面n边形沿若干条对角线做适当翻折（即在选定的对角线处形成适当的二面角)后得到的空间图形。两个空间图形全等指的是它们可以通过R3中的一个等距变换完全重合。一个多面体指的是一个空间有界区域，其边界可以由有限多个平面多边形沿公共边拼接而成。1. 判断题(4分) 我们知道2021=43×47.那么是否存在一个多面体，它的表面可以由43个全等的空间47边形拼接而成?2. 问答题(6分) 请对你的判断给出逻辑的解释。

面条是中华传统美食，花样不断翻新。清晨，擀宽面的张师傅别出心裁，把他的宽面条两头粘上，变成了宽面圈儿，如图：他平时切面条一样，把宽面圈儿沿着中心线切开，就得到两个完全同样的宽面圈儿，如图：张师傅灵机一动，重新将面条拧了一下，再两头粘上。这样竟然成了数学中常常讲到的莫比乌斯带（以德国数学家奥古斯特●莫比乌斯命名），如图：接着，他灵机两动，三动，直至n动。将宽面拧了两个，三下，直至n下，总以如图的右手内旋的方式来拧，然后照样地两头粘上。这些宽面圈儿在数学上还没有固定的名称。张师傅把莫比乌斯带称作1旋圈面，拧两下、三下的称作2旋、3旋圈面，总之，拧n下就是旋圈面；n为2、3、7的情形如图：起先没有拧就粘上的，普普通通，只称作平凡圈面，或者0旋圈面。在线师傅看来，不同旋数的圈面是彼此不同的（因为只在厨房里摆放来，摆放去，总不能把一种变成另一种）。张师傅把他的多旋圈面开店上架，一时网红。有人为百岁老人订制100旋圈面，有人为公司年会订制2019旋圈面，（张师傅拧得手都酸了）。试问：张师傅要是依旧沿中心线切开这两种圈面，分别会得到什么？【】

在一个虚拟的世界中，每个居民（设想为没有大小的几何点）依次编号为1,2,⋯.为了抗击某种疫情，这些居民要接种某疫苗，并在注射后在现场留观一段时间。现在假设留观的场所是平面上的一个半径为1/4的圆周。为了安全,要求第m号居民和第n居民之间的距离dm,n满足(m+n)dm,n≥1这里我们考虑的是圆周上的距离，也就是两点间劣弧的弧长。那么1.选择题(4分)下列选项（）符合实际情况。A 这个留观室最多能容纳8个居民B 这个留观室能容纳的居民个数有大于8的上限:C 这个留观室可以容纳任意多个居民。2.证明题(6分)证明你的论断。

去年，张师傅因为多旋圈面爆红，今年他来到了达摩院给扫地僧做面。某天，软件工程师小李跟张师傅吐槽工作。小李主要硏究和设计算法用于调节各种产品的参数。这样的参数一般可以通过极小化Rn上的某个损失函数f求得。在小李最近的一个项目中，这个损失函数是另外一个课题组提供的；出于安全考虑和技术原因，该课题组难以向小李给出此函数的内部细节，而只能提供一个接口用于计算任意x∈Rn处的函数值f(x)。所以，小李必须仅基于函数值来极小化f。而且，每次计算f的值都消耗不小的计算资源。好在该问题的维度n不是很高(10左右)。另外，提供函数的同事还告知小李不妨先假设f是光滑的。这个问题让张师傅想起了自己收藏的一台古董收音机。要在这台收音机上收听一个节目，你需要小心地来回拧一个调频旋钮，同时注意收音效果，直到达到最佳。在这过程中，没有人确切地知道旋钮的角度和收音效果之间的定量关系是什么。张师傅和小李意识到，极小化f不过就是调节一台有多个旋钮的机器：想象x的每一个分量由一个旋钮控制，而f(x)表示这台机器的某种性能，只要我们来回调整每个旋钮，同时监视f的值，应该就有希望找到最佳的x。受此启发，两人一起提出了极小化f的一个迭代算法，并命名为“自动前后调整算法”( Automated Forward/Backward Tuning，AFBT，算法1)。在第k次迭代中，AFBT通过前后调整xk的单个分量得2n个点{xk±tk ei:i=1,…,n}，其中tk为步长；然后，令yk为这些点中函数值最小的一个，并检査yk是否使f充分减小；若是，取xk+1=yk，并将步长增倍；否则，令xk+1=xk并将步长减半。在算法1中，ei表示Rn中的第i个坐标向量，它的第i个分量为1，其余皆为0； I(∙) 为指示函数——若f(xk )-f(yk)至少为tk之平方，则I[f(xk )-f(yk )≥tk2]取值为1，否则为0。1自动前后调整算法(AFBT)输入x0∈Rn,t0>0。对k=0,1,2,…，执行以下循环。1：yk≔argmin{f(y):y=xk±tk ei,i=1,…,n} #计算损失函数。2：sk≔I[f(xk )-f(yk )≥tk2] #是否充分下降？是：sk=1；否：sk=0。3：xk+1≔(1-sk ) xk+sk yk #更新迭代点。4：tk+1≔2(2sk-1 ) tk #更新步长。sk=1：步长增倍；sk=0：步长减半。现在，我们对损失函数f:Rn→R作出如下假设。假设1. f为凸函数，即对任何x,y∈Rn与α∈[0,1]都有f((1-α)x+αy)≤(1-α)f(x)+αf(y).假设2. f在Rn上可微且∇f在Rn上 L-Lipschitz连续。假设3. f的水平集有界，即对任意λ∈R，集合{x∈Rn:f(x)≤λ}皆有界。基于假设1与假设2，可以证明〈∇f(x),y-x〉≤f(y)-f(x)≤〈∇f(x),y-x〉+L/2 ‖x-y‖2对任何x,y∈Rn成立；假设1与假设3则保证f在Rn上取到有限的最小值f*。凸函数的更多性质可参考任何一本凸分析教科书。证明题(20分) 在假设1-3下，对于AFBT，证明f(xk)=f*.

设h(z)是关于自然变量z的多项式.考虑系数在多项式环C[z]中的关于y的三次方程y3-3zy+h(z)=0.(i)当h(z)=-z3-1时，找到此方程的至少一个一次多项式函数解.(ii)假设方程y3-3zy+h(z)=0有三个互不相等的整函数解y=f1(z),f2(z),f3(z)，则h(z)可以取哪些多项式？注：整函数指在整个复平面上解析的函数.

特征值与正交计算

已知α1=,α2=,α3=，记β1=α1,β2=α2 - kβ1,β3=α3 - l1 β1 - l2 β2，若β1,β2,β3 两两正交，则l1,l2依次为【】

已知二次型f(x1,x2,x3 )=x12+2x22+2x32+2x1 x2-2x1 x3,g(y1,y2,y3 )=y12+y22+y32+2y2 y3.(Ⅰ)求可逆变换x=Py，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3);(Ⅱ)是否存在正交变换x=Qy，将f(x1,x2,x3)化为g(y1,y2,y3).

设实线性空间R2×2上的双线性函数ρ(X,Y)=tr(XT SY)，其中S∈R2×2.(1)求所有S，使得ρ是R2×2上的内积;(2)求所有S，使得A(X)=XT是内积空间(R2×2,ρ)上的正交变换.

设A为n×n复矩阵，证明：存在一个n维向量α，使α，Aα，…，An-1α线性无关的充要条件是A的每个特征向量值恰有一个线性无关的特征向量。

设A,B是n×n矩阵，φ(λ)为A的特征多项式，证明φ(B)是奇异矩阵的充要条件是A,B有公共的特征值。

A为4阶方阵，其特征值为-1,1,2,3，A*为A的伴随矩阵，则|A*|=__________。

A=，则A的特征值为【】

设A为数域P上的一个n级矩阵，如果f(A)=0，则称f(x)以A为根。次数最低首项为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式，证明矩阵A的最小多项式是惟一的。

对于R上的连续且绝对可积的复数值函数f(x)，定义R上的函数(Sf)(x):(Sf)(x)=e2πiux f(u)du.(i)问答题（10分）求S(1/(1+x2))和S(1/(1+x2)2 )的显示表达式。(ii)问答题（15分）对任意整数k，记fk(x)=(1+x2)-1-k.假设k≥1，找到常数c1,c2使得函数y=(Sfk)(x)满足二阶常微分方程xy''+c1y'+c2xy=0.

设A=(aij)n×n是一个由±1组成的n×n方阵(n>1).将A的n个行向量记为v1,…,vn.对于两个行行向量v=(ai)1≤i≤n与v'=(bi)1≤i≤n，定义v*v'=(aibi)1≤i≤n以及v∙v'=aibi假设：(1)对任意的i,j(1≤i,j≤n)，存在k(1≤k≤n)使得vi*vj=vk；(2)对任意的i,j(1≤i,j≤n,i≠j)， vi∙vj=0.证明：(i) A有一个行向量；对于A的另外任意一个行向量v_i，它有n/2个分量为1，n/2个分量为-1.(ii)n是2的幂.(ii)设n=2m，则可以通过重新排列A的行与列，将A变为方阵这里，X⨂m==是方阵X的m次张量积：两个方阵X=(xij)1≤i,j≤p与Y=(yi'j')1≤i',j'≤q的张量积被定义为一个pq×pq方阵X⨂Y=(zkl)1≤kl≤pq其中zkl=xijyi'j'，整数i,j,i',j'满足1≤i,j≤p,1≤i',j'<q，且由等式k=p(i'-1)+i与l=p(j'-1)+j唯一确定.