填空题(2004年重庆大学

三阶行列式有2个元素为4,其余为±1,则此行列式可能的最大值为________.

答案解析

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讨论

已知矩阵:A=,B=,C= 计算:(cosα∙A+cosβ∙B+cosγ∙C)3=?其中,cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1,cosα+2cosβ+3cosγ=√3/3.提示:设E=,并引入三个矩阵:A'=A-E,B'=B-2E,C'=C-3E [注意:(cosα∙A'+cosβ∙B'+cosγ∙C')2=?]后,再作计算.

已知四维实矢量空间的矢量(表示成矩阵):=,满足如下条件:以及T∙=9/4(其中,T表示对矩阵取置换),试求出所有这样的四维实矢量的集合:{ }=?

由曲线y=y(x)=(-√3<x≤0)和射线y=-√3 x(x≤0),以及由曲线y=y(x)=(-√3<x≤0)和射线y=-√3 x(x≤0),直线x=-√3围成了两块平面图形F1和F2(其中,F1的边界长度为有限值,而F2的边界长度为无穷大).(1)计算出平面图形F1的面积S1=?(2)计算出平面图形F2的面积S2=?提示:采用平面极坐标(r,θ)作计算较为简单.[不定积分公式:∫tg2θdθ=tgθ-θ+C可直接引用]

设曲面:z=z(x,y)=x4+1/2 (√5-4y)∙x2+y2,柱壁面:y=x2-5/9,圆柱体:x2+y2≤1,在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”:G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”:,[t∈T;(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”:L=?提示:(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面:y=x2-5/9与圆柱面:x2+y2=1满足相交或满足相切?[不定积分公式:∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

已知一个二元实变函数:z=f(x,y)=sin2x - sinx∙cosy+cos2y;[其中,(x,y)∈全平面].(1)求出函数z=f(x,y)在其定义域里的最小值:zmin=?并指出在其定义域何点处,函数z=f(x,y)获得最小值zmin?(2)求出函数z=f(x,y)在其定义域里的最大值:zmax=?并指出在其定义域何点处,函数z=f(x,y)取得最大值zmax?提示:首先,可作变量变换:X=sinx,Y=cosy;然后,考虑关于X和Y的二元实变函数z=F(X,Y).

两实变量x与y之间存在“变化关系”,且“变化关系”满足方程:e-1/3 x+2y+(e10/3 - 1)∙e-1/3 x+y - ex^3+2x^2-2x =0.(1)确定出y关于x的单值、连续的函数关系式(解析式):y=f(x)=?及其函数f(x)的定义域{x}=?提示:求解函数方程以及求解其后问题时,令:e10/3-1=2a,可便于计算分析处理.(2)求出函数y=f(x)的一阶导数:dy/dx=f'(x)=?及其可导区域{x}=?(3)绘出函数y=f(x)的图像草图.提示:(i)首先寻找出函数f(x)的三个“零点”:xk=? [其中,f(xk )=0,(k=1,2,3)],以及一阶导数函数f'(x)的两个“零点”xl[其中,f' (xl' )=0,(l=1,2)](ii)然后,考察函数f(x)的渐近性质: f(x)|x→±∞→?(iii)最后,利用(i)和(ii)的结果,便可绘制出函数y=f(x)的图像草图.[注意:“零点”方程f(xk )=0最终可化为关于xk的三次方程,可采用(分组分解法)因式分解后再作求解]

连续函数的不定积分一定存在.

设f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上的连续点有无限多个.

设cn(x)在[0,1]上非负连续(n=1,2,…),cn(x)在[0,1]上一致收敛,令Mn=cn(x),问Mn 是否收敛?用(xn(1-x))/lnn验证上面的结论.

设f(x)在[a,b]上单调,证明其变上限积分F(x)=f(t)dt在每一x∈(a,b)的单侧导数F+'(x),F_'(x)均存在.