证明题(1998年理工数学Ⅰ

设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx=0有解向量α,且Ak-1α≠0,证明向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的.

答案解析

设有常数λ0,λ1,…,λk-1,使得λ0 α+λ1 Aα+⋯+λk-1 Ak-1 α=0,则有Ak-1 (λ0 α+λ1 Aα+⋯+λk-1 Ak-1 α)=0.从而λ0 Ak-1 α=0.由题设A...

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讨论

已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4,可以经过正交变换=P化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4,求a,b的值和正交矩阵P.

设y=f(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在x0∈(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间[x0,1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积.(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f'(x)>-2f(x)/x,证明(1)中的x0是唯一的.

设正向数列{an}单调减少,且(-1)nan 发散,试问级数(1/(an+1))n 是否收敛?并说明理由.

求⁡[sin⁡(π/n)/(n+1)+sin(2π/n)/(n+1/2)+⋯+sinπ/(n+1/n)]

计算曲面积分I=∬Σ (axdydz+(z+a)2dxdy)/(x2+y2+z2 )1/2 ,其中Σ为下半球面z=-的上侧,a为大于零的常数.

从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式 y= y(v).

确定常数λ,使在右半平面x>0上的向量A(x,y)=2xy(x4+y2 )λ i-x2 (x4+y2 )λ j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y).

求直线l:(x-1)/1=y/1=(z-1)/-1在平面π:x-y+2z-1=0上的投影直线l0的方程,并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.

设A,B是两个随机事件,且0<P(A)<1,P(B│A)=P(B|A ̅),则必有【 】

设矩阵是满秩的,则直线(x-a3)/(a1-a2 )=(y-b3)/(b1-b2 )=(z-c3)/(c1-c2 )与直线(x-a1)/(a2-a3 )=(y-b1)/(b2-b3 )=(z-c1)/(c2-c3 )【 】

设A是n×n实对称矩阵,证明:存在一个实数k使得对任意一个实n维向量x都有|x' Ax|≤kx'x,其中x'表示向量x的转置.

已知四维实矢量空间的矢量(表示成矩阵):=,满足如下条件:以及T∙=9/4(其中,T表示对矩阵取置换),试求出所有这样的四维实矢量的集合:{ }=?

设R2中的内积为(α,β)=α' Aβ,A=,则,在此内积之下的度量矩阵为________.

向量组α1=(1 1 k),α2=(1 k 1),α3=(k 1 1)是线性无关的,则k=__________.

已知全体实的2维向量关于下列运算构成R上的线性空间V:(a1,b1 )+(a2,b2 )=(a1+a2,b1+b2+a1 a2),k∙(a,b)=(ka,kb+(k(k-1))/2 a2).(1)求V的一组基;(2)定义变换A(a,b)=(a,a+b),证明:A是一个线性变换;并求A在V的一组基下的矩阵表示.

四维矢量X采用列矩阵表示为:X=,其中,矢量X的四个分量x1,x2,x3,x4满足如下条件:,试证明:这样的四维矢量X存在“无穷多个”,并可一般表示为:X=ax1+bx2+1/2 x3;其中x1=,x2=,x3=;而a,b为“任意实数”.

已知A ̅和B ̅分别是三维空间中的矢量矩阵和单位方向矢量;A ̅=Ax+Ay+Az;( Ax=,Ay=,Az=B ̅=cosα+cosβ+cosγ;( cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1)计算矩阵求和c=k(A ̅∙B ̅)k +2k (A ̅∙B ̅)2k.提示:首先考察(A ̅∙B ̅)2=?

在P[x]4定义内积:(f(x),g(x))=f(x)g(x) dx,f(x),g(x)∈P[x]4,并定义线性变换A:Aεi=ηi,i=1,2,3,4.ε1=1/2 (1+x+x2+x3 ),η1=2x+x2-x3 ε2=1/2 (-1-x+x2+x3 ),η2=-1-x2-2x3 ε3=1/2 (-1+x-x2+x3 ),η3=-2x-x2+x3 ε4=1/2 (-1+x+x2-x3 ),η4=1-4x-x2 求A的核空间的一个标准正交基.

设B是秩为2的5×4矩阵,α1=(1,1,2,3)T,α2=(-1,1,4,-1)T,α3=(5,-1,-8,9)T是齐次线性方程组Bx=0的解向量,求Bx=0的解空间的一个标准正交基.

设A=(aij)n×n是一个由±1组成的n×n方阵(n>1).将A的n个行向量记为v1,…,vn.对于两个行行向量v=(ai)1≤i≤n与v'=(bi)1≤i≤n,定义v*v'=(aibi)1≤i≤n以及v∙v'=aibi假设:(1)对任意的i,j(1≤i,j≤n),存在k(1≤k≤n)使得vi*vj=vk;(2)对任意的i,j(1≤i,j≤n,i≠j), vi∙vj=0.证明:(i) A有一个行向量;对于A的另外任意一个行向量v_i,它有n/2个分量为1,n/2个分量为-1.(ii)n是2的幂.(ii)设n=2m,则可以通过重新排列A的行与列,将A变为方阵这里,X⨂m==是方阵X的m次张量积:两个方阵X=(xij)1≤i,j≤p与Y=(yi'j')1≤i',j'≤q的张量积被定义为一个pq×pq方阵X⨂Y=(zkl)1≤kl≤pq其中zkl=xijyi'j',整数i,j,i',j'满足1≤i,j≤p,1≤i',j'<q,且由等式k=p(i'-1)+i与l=p(j'-1)+j唯一确定.