大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1998年空间直线及其方程)

单项选择（1998年理工数学Ⅰ）

设矩阵是满秩的，则直线(x-a₃)/(a₁-a₂ )=(y-b₃)/(b₁-b₂ )=(z-c₃)/(c₁-c₂ )与直线(x-a₁)/(a₂-a₃ )=(y-b₁)/(b₂-b₃ )=(z-c₁)/(c₂-c₃ )【】

A、相交于一点

B、重合

C、平行但不重合

D、异面

答案解析

A

讨论

矩阵的秩

设A为m×n且秩为s的矩阵，X为p×m的列满秩矩阵，即r(X)=m，而Y为n×q的行满秩矩阵，即r(Y)=n。证明：r(A)=r(XA)=r(AY)=r(XAY)其中符号r(T)表示矩阵T的秩。

设矩阵A=，求P(A).

设A是n阶方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵，(1)证明：|A* |=|A|n-1;(2)证明：R(A* )=.

设A=，B是三阶非零方阵，且AB=O，求a,b以及B的秩.

设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而B=，则r(AB)=________.

设A=,A11∈Cr×r,rankA11=r且rankA=rankA11，证明：(1) A22-A21 A11-1 A12=0(2) N()=R()其中N(T),R(T)分别表示T∈Cm×n的零空间与列空间，即N(T)={x|Tx=0}⊂Cn R(T)={y|y=Tx,x∈Cn}⊂Cm Cm×n表示 m×n复数矩阵空间，Cn表示复n维列向量构成的线性空间，In-r表示 (n-r)×(n-r)单位矩阵。

已知Q=，P为3阶非零矩阵，且满足PQ=0，则【】

设A是n阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明秩R(A*)与R(A)之间满足R(A* )=

设A≠0，证明：R(A)=1的充要条件是A可表示为一个列向量与一个行向量的乘积。

设A=，其中a_i≠0,b≠0(i=1,2,⋯,n)，则矩阵A的秩r(A)=________.

向量代数与解析几何

面条是中华传统美食，花样不断翻新。清晨，擀宽面的张师傅别出心裁，把他的宽面条两头粘上，变成了宽面圈儿，如图：他平时切面条一样，把宽面圈儿沿着中心线切开，就得到两个完全同样的宽面圈儿，如图：张师傅灵机一动，重新将面条拧了一下，再两头粘上。这样竟然成了数学中常常讲到的莫比乌斯带（以德国数学家奥古斯特●莫比乌斯命名），如图：接着，他灵机两动，三动，直至n动。将宽面拧了两个，三下，直至n下，总以如图的右手内旋的方式来拧，然后照样地两头粘上。这些宽面圈儿在数学上还没有固定的名称。张师傅把莫比乌斯带称作1旋圈面，拧两下、三下的称作2旋、3旋圈面，总之，拧n下就是旋圈面；n为2、3、7的情形如图：起先没有拧就粘上的，普普通通，只称作平凡圈面，或者0旋圈面。在线师傅看来，不同旋数的圈面是彼此不同的（因为只在厨房里摆放来，摆放去，总不能把一种变成另一种）。张师傅把他的多旋圈面开店上架，一时网红。有人为百岁老人订制100旋圈面，有人为公司年会订制2019旋圈面，（张师傅拧得手都酸了）。试问：张师傅要是依旧沿中心线切开这两种圈面，分别会得到什么？【】

已知α=(1,2,3);β=(1,1/2,1/3)，设A=αTβ，则An=__________。

2019年第一届阿里巴巴数学竞赛的优胜者们在参加集训营的时候，集体送给主办方负责人的礼物，是一个有60个全等的三角形面的多面体。从图中我们可以看到，这个多面体的表面是60个全等的空间四边形拼接而成的。一个空间n边形是指由一个平面n边形沿若干条对角线做适当翻折（即在选定的对角线处形成适当的二面角)后得到的空间图形。两个空间图形全等指的是它们可以通过R3中的一个等距变换完全重合。一个多面体指的是一个空间有界区域，其边界可以由有限多个平面多边形沿公共边拼接而成。1. 判断题(4分) 我们知道2021=43×47.那么是否存在一个多面体，它的表面可以由43个全等的空间47边形拼接而成?2. 问答题(6分) 请对你的判断给出逻辑的解释。

在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

设向量组α1,α2,α3线性相关，α2,α3,α4线性无关，问：(1) α1能否由α2,α3线性表出？证明你的结论.(2) α4能否由α1,α2,α3线性表出？证明你的结论.

设直线l1:(x-1)/1=(y-5)/(-2)=(z+8)/1与l2:则l1与l2的夹角为【】

已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积.

设(a×b)∙c=2，则[(a+b)×(b+c)]∙(c+a)=________.

设有直线l:及平面π:4x-2y+z-2=0，则直线l【】

已知曲线C:，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值.

空间直线及其方程

设空间直角坐标系中的四点A(1,1,1),B(1,2,3),C(1,2,4),D(2,3,4),则点A到平面BCD的距离d=__________.

设ξ,η是两个相互独立且均服从正态分布N(0,1/2)的随机变量，则随机变量|ξ-η|的数学期望E(|ξ-η|)=________.

设对任意x>0，曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于1/x f(t)dt，求f(x)的一般表达式.

设A=，B为3阶非零矩阵，且AB=0，则t=______.

设B是秩为2的5×4矩阵，α1=(1,1,2,3)T,α2=(-1,1,4,-1)T,α3=(5,-1,-8,9)T是齐次线性方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个标准正交基.

已知ξ=是矩阵A=的一个特征向量.(1)试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值；(2)问A能否相似于对角阵？说明理由.

设A,B为n阶实矩阵，下列结论不成立的是【】

设(X1,Y1 ),(X2,Y2 ),…,(Xn,Yn )为来自总体N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)的简单随机样本. 令θ=μ1 - μ2, X ̅=1/n·Xi ,Y ̅=1/n·Yi ,θ ̂=X ̅ - Y ̅，则【】

设X1,X2,…,X16为来自总体N(μ,4)的简单随机样本.考虑假设检验问题：H0:μ≤10,H1:μ>10.Φ(x)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W={X ̅≥11}，其中X ̅=1/16·Xi ，则μ=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为【】

甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X，Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数______.