问答题(1994年理工数学Ⅰ

已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积.

答案解析

过A,B两点的直线方程为(x-1)/(-1)=y/1=z/1或用z等于常数截旋转体所得截面为一个圆,此截面与z轴交于点Q(0,0,z),与AB交于点M(1-z,z,z),从而截面的半径为r(z)==....

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讨论

面条是中华传统美食,花样不断翻新。清晨,擀宽面的张师傅别出心裁,把他的宽面条两头粘上,变成了宽面圈儿,如图:他平时切面条一样,把宽面圈儿沿着中心线切开,就得到两个完全同样的宽面圈儿,如图:张师傅灵机一动,重新将面条拧了一下,再两头粘上。这样竟然成了数学中常常讲到的莫比乌斯带(以德国数学家奥古斯特●莫比乌斯命名),如图:接着,他灵机两动,三动,直至n动。将宽面拧了两个,三下,直至n下,总以如图的右手内旋的方式来拧,然后照样地两头粘上。这些宽面圈儿在数学上还没有固定的名称。张师傅把莫比乌斯带称作1旋圈面,拧两下、三下的称作2旋、3旋圈面,总之,拧n下就是旋圈面;n为2、3、7的情形如图:起先没有拧就粘上的,普普通通,只称作平凡圈面,或者0旋圈面。在线师傅看来,不同旋数的圈面是彼此不同的(因为只在厨房里摆放来,摆放去,总不能把一种变成另一种)。张师傅把他的多旋圈面开店上架,一时网红。有人为百岁老人订制100旋圈面,有人为公司年会订制2019旋圈面,(张师傅拧得手都酸了)。试问:张师傅要是依旧沿中心线切开这两种圈面,分别会得到什么?【 】

已知α=(1,2,3);β=(1,1/2,1/3),设A=αTβ,则An=__________。

2019年第一届阿里巴巴数学竞赛的优胜者们在参加集训营的时候,集体送给主办方负责人的礼物,是一个有60个全等的三角形面的多面体。从图中我们可以看到,这个多面体的表面是60个全等的空间四边形拼接而成的。 一个空间n边形是指由一个平面n边形沿若干条对角线做适当翻折(即在选定的对角线处形成适当的二面角)后得到的空间图形。两个空间图形全等指的是它们可以通过R3中的一个等距变换完全重合。一个多面体指的是一个空间有界区域,其边界可以由有限多个平面多边形沿公共边拼接而成。1. 判断题(4分) 我们知道2021=43×47.那么是否存在一个多面体,它的表面可以由43个全等的空间47边形拼接而成?2. 问答题(6分) 请对你的判断给出逻辑的解释。

与两直线及(x+1)/1=(y+2)/2=(z-1)/1都平行且过原点的平面方程为______________.

过点M(1,2,-1)且与直线垂直的平面方程是__________.

已知两条直线的方程是 l1:(x-1)/1=(y-2)/0=(z-3)/(-1);l2:(x+2)/2=(y-1)/1=z/1.则过l1且平行于l2的平面方程是____________.

在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

设向量组α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性无关,问:(1) α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论.(2) α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论.

设直线l1:(x-1)/1=(y-5)/(-2)=(z+8)/1与l2:则l1与l2的夹角为【 】

已知曲线C:,求C上的点到xoy坐标面距离的最大值.