大学数学-考研试题(中国科学技术大学 2022年空间曲线及其方程)

计算题（2022年中国科学技术大学）

计算R³中曲面(x₁²)/(a₁² )+(x₂²)/(a₂² )=(x₃²)/(a₃² )与超平面x₃=a₃所围锥体的体积，a₁,a₂,a₃>0.

答案解析

暂无答案

讨论

大学数学

计算积分xm-1/(1+xn) dx，其中0<m<n.

设函数f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b)上连续.下面哪个条件能够判定函数f(x)在[a,b]上有最大值【】

对有界数列{xn}，下面哪个说法可作为xn=L的定义【】（此题不全，待更新）

由下面哪个条件能够判断{xn}收敛【】

函数(x+2)n/(2n(n+1))的定义域是【】

设连续函数f(x)满足f(a+b-x)=f(x),∀x∈[a,b]，则积分xf(x)dx等于【】

如果y=(x+t)dt，则 dy/dx|x=0等于【】

设函数f:R→R可微且导数有界，则f【】

积分sinx/(ex+e-x) dx等于【】

求幂级数((-4)n+1)/(4n (2n+1)) x2n 的收敛域及和函数S(x).

向量代数与解析几何

已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积.

设(a×b)∙c=2，则[(a+b)×(b+c)]∙(c+a)=________.

设矩阵是满秩的，则直线(x-a3)/(a1-a2 )=(y-b3)/(b1-b2 )=(z-c3)/(c1-c2 )与直线(x-a1)/(a2-a3 )=(y-b1)/(b2-b3 )=(z-c1)/(c2-c3 )【】

求直线l:(x-1)/1=y/1=(z-1)/-1在平面π:x-y+2z-1=0上的投影直线l0的方程，并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.

与两直线及(x+1)/1=(y+2)/2=(z-1)/1都平行且过原点的平面方程为______________.

过点M(1,2,-1)且与直线垂直的平面方程是__________.

设直线l1:(x-1)/1=(y-5)/(-2)=(z+8)/1与l2:则l1与l2的夹角为【】

设有直线l:及平面π:4x-2y+z-2=0，则直线l【】

设一平面经过原点及点P(6,-3,2)，且与平面4x-y+2z=8垂直，则此平面方程为______________.

已知曲线C:，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值.

空间曲线及其方程

2019年第一届阿里巴巴数学竞赛的优胜者们在参加集训营的时候，集体送给主办方负责人的礼物，是一个有60个全等的三角形面的多面体。从图中我们可以看到，这个多面体的表面是60个全等的空间四边形拼接而成的。一个空间n边形是指由一个平面n边形沿若干条对角线做适当翻折（即在选定的对角线处形成适当的二面角)后得到的空间图形。两个空间图形全等指的是它们可以通过R3中的一个等距变换完全重合。一个多面体指的是一个空间有界区域，其边界可以由有限多个平面多边形沿公共边拼接而成。1. 判断题(4分) 我们知道2021=43×47.那么是否存在一个多面体，它的表面可以由43个全等的空间47边形拼接而成?2. 问答题(6分) 请对你的判断给出逻辑的解释。

在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

设A是n维线性空间V的线性变换，则V=ImA⊕KerA.

设A,B都是n阶复方阵，C=A+B，则det(C-AB)=det(C-BA).

设函数f:R→R在R/{x0}上有二阶导数，满足：当x∈(-∞,x0)时f' (x)<0<f''(x)，而当x∈(x0,+∞)时，f' (x)>0>f''(x)，证明：f在x0处不可微.

设空间直角坐标系中的四点A(1,1,1),B(1,2,3),C(1,2,4),D(2,3,4),则点A到平面BCD的距离d=__________.

设A=，则A-1=__________，A2022=__________，A的最大奇异值σ1=__________.

设R^3上的线性变换A(x)=x，则α=生成的A-循环不变空间的维数为________.

设A是n阶复方阵，V1是A的行向量生成的Cn的子空间，V2是A的列向量生成的Cn的子空间，则V1=V2.

设复系数多项式f(x)在x=1处的导数f'(1)≠0.证明：存在n阶复方阵A使得f(A)=f(1)J，其中J=是n阶Jordan块.