大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1995年空间直线及其方程)

单项选择（1995年理工数学Ⅰ）

设有直线l:及平面π:4x-2y+z-2=0，则直线l【】

A、平行于π

B、在π上

C、垂直于π

D、与π斜交

答案解析

C

讨论

大学数学

设X和Y为两个随机变量，且P{X≥0,Y≥0}=3/7,P{X≥0}=P{Y≥0}=4/7,则P{max⁡(X,Y)≥0}=________.

设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X2的数学期望E(X2)=________.

设3阶方阵A,B满足关系式A-1BA=6A+BA，且A=，则B=____________.

幂级数n/(2n+(-3)n) x2n-1的收敛半径R=________.

设(a×b)∙c=2，则[(a+b)×(b+c)]∙(c+a)=________.

d/dx xcost2dt=______________.

(1+3x)2/sinx=__________.

已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42)，X与Y的相关系数ρXY=-1/2，设Z=X/3+Y/2.(1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；(2)求X与Z的相关系数ρXZ；(3)问X与Z是否相互独立？为什么？

设A为n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵，AT的转置矩阵，当A*=AT时，证明|A|≠0.

设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为，又知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1 (0,1,1,0)+k2 (-1,2,2,1).(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系；(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由.

向量代数与解析几何

面条是中华传统美食，花样不断翻新。清晨，擀宽面的张师傅别出心裁，把他的宽面条两头粘上，变成了宽面圈儿，如图：他平时切面条一样，把宽面圈儿沿着中心线切开，就得到两个完全同样的宽面圈儿，如图：张师傅灵机一动，重新将面条拧了一下，再两头粘上。这样竟然成了数学中常常讲到的莫比乌斯带（以德国数学家奥古斯特●莫比乌斯命名），如图：接着，他灵机两动，三动，直至n动。将宽面拧了两个，三下，直至n下，总以如图的右手内旋的方式来拧，然后照样地两头粘上。这些宽面圈儿在数学上还没有固定的名称。张师傅把莫比乌斯带称作1旋圈面，拧两下、三下的称作2旋、3旋圈面，总之，拧n下就是旋圈面；n为2、3、7的情形如图：起先没有拧就粘上的，普普通通，只称作平凡圈面，或者0旋圈面。在线师傅看来，不同旋数的圈面是彼此不同的（因为只在厨房里摆放来，摆放去，总不能把一种变成另一种）。张师傅把他的多旋圈面开店上架，一时网红。有人为百岁老人订制100旋圈面，有人为公司年会订制2019旋圈面，（张师傅拧得手都酸了）。试问：张师傅要是依旧沿中心线切开这两种圈面，分别会得到什么？【】

已知α=(1,2,3);β=(1,1/2,1/3)，设A=αTβ，则An=__________。

2019年第一届阿里巴巴数学竞赛的优胜者们在参加集训营的时候，集体送给主办方负责人的礼物，是一个有60个全等的三角形面的多面体。从图中我们可以看到，这个多面体的表面是60个全等的空间四边形拼接而成的。一个空间n边形是指由一个平面n边形沿若干条对角线做适当翻折（即在选定的对角线处形成适当的二面角)后得到的空间图形。两个空间图形全等指的是它们可以通过R3中的一个等距变换完全重合。一个多面体指的是一个空间有界区域，其边界可以由有限多个平面多边形沿公共边拼接而成。1. 判断题(4分) 我们知道2021=43×47.那么是否存在一个多面体，它的表面可以由43个全等的空间47边形拼接而成?2. 问答题(6分) 请对你的判断给出逻辑的解释。

已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积.

过点M(1,2,-1)且与直线垂直的平面方程是__________.

已知两条直线的方程是 l1:(x-1)/1=(y-2)/0=(z-3)/(-1);l2:(x+2)/2=(y-1)/1=z/1.则过l1且平行于l2的平面方程是____________.

在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

设向量组α1,α2,α3线性相关，α2,α3,α4线性无关，问：(1) α1能否由α2,α3线性表出？证明你的结论.(2) α4能否由α1,α2,α3线性表出？证明你的结论.

设直线l1:(x-1)/1=(y-5)/(-2)=(z+8)/1与l2:则l1与l2的夹角为【】

已知曲线C:，求C上的点到xoy坐标面距离的最大值.

空间直线及其方程

设矩阵是满秩的，则直线(x-a3)/(a1-a2 )=(y-b3)/(b1-b2 )=(z-c3)/(c1-c2 )与直线(x-a1)/(a2-a3 )=(y-b1)/(b2-b3 )=(z-c1)/(c2-c3 )【】

设空间直角坐标系中的四点A(1,1,1),B(1,2,3),C(1,2,4),D(2,3,4),则点A到平面BCD的距离d=__________.

设在一次试验中，事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为__________；而事件A至多发生一次的概率为__________.

n维向量组α1,α2,…,αs (3≤s≤n)线性无关的充要条件是【】

已知AP=PB，其中B=,P=，求A,A5.

设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，则事件A在每次试验中出现的概率是______.

若在区间(0,1)内任取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为______.

已知随机事件A的概率P(A)=0.5，随机事件B的概率P(B)=0.6以及条件概率P(B|A)=0.8，则和事件A∪B的概率P(A∪B)=______.

甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为______.

设A是n阶矩阵，且A的行列式|A|=0，则A中【】