已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42)，X与Y的相关系数ρXY=-1/2，设Z=X/3+Y/2.
(1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；
(2)求X与Z的相关系数ρXZ；
(3)问X与Z是否相互独立？为什么？
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问答题（1994年理工数学Ⅰ）
答案解析
(1)由X~N(1,32 ),Y~(0,42)，知E(X)=1,D(X)=9,E(Y)=0,D(Y)=16.由数学期望的运算性质，有E(Z)=E(X/3+Y/2)=1/3 E(X)+1/2 E(Y)=1/3,又根据方差的运算公式，知D(Z)=D(X/3+Y/2)=1/9 D(X)+1/4 D(Y)+2∙1/3∙1/2 Cov(X,Y) =1/9×9+1/4×16+1/3 ...
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(X,Y)的联合概率分布为试求：(1)DX (2)DY (3)cov(X,Y)
设随机变量X~N(0,1)，在X=x条件下，随机变量Y~N(x,1)，则X与Y的相关系数为【 】
设A为n阶方阵，且A的行列式|A|=a≠0，而A*是A的伴随矩阵，则|A* |等于【 】
求微分方程y'''+6y''+(9+a2) y'=1的通解，其中常数a>0.
计算曲面积分I=∬∑x(8y+1)dydz+2(1-y2 )dxdz-4yzdxdy,其中∑是由曲线(1≤y≤3)绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于π/2.
设在一次试验中，事件A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为__________；而事件A至多发生一次的概率为__________.
设4阶矩阵A=(α,γ2,γ3,γ4 ),B=(β,γ2,γ3,γ4)，其中α,β,γ2,γ3,γ4均为四维列向量，且已知行列式|A|=4,|B|=1，则行列式|A+B|=________.
设随机变量X,Y相互独立，其概率密度函数分别为：fX (x)=,fY(y)= 求Z=2X+Y的概率密度函数.
设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标准差（均方差）为√2的正态分布，而Y服从标准正态分布，试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数.
设二维随机变量(X,Y)在区域D:0<x<1,|y|<x内服从均匀分布，求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z=2X+1的方差D(Z).
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=，求随机变量Z=X+2Y的分布函数.
设随机变量X与Y独立，X服从正态分布N(μ,σ2)，Y服从[-π,π]上的均匀分布，试求Z=X+Y的概率分布密度（计算结果用标准正态分布函数Φ(x)表示，其中Φ(x)=dt）.
相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律，且X的分布律为：X 0 1P 1/2 1/2则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为：______________________________.
设随机变量X1,X2,…,Xn独立同分布，且X1的4阶矩阵存在.设μk=E(X1k)(k=1,2,3,4)，则由切比雪夫不等式，对∀ε>0，有P{|1/n Xi2 -μ2 |≥ϵ}≤【 】
设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e2所围成，二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为________.
设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布，已知Φ(x)=du, Φ(2.5)=0.9938,则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为______.
某车站于每个钟点的第5分钟、25分钟、50分钟发出一班车。假设一个乘客在某个钟点的第X分钟到达车站，且X在[0,60]上均匀分布。请计算该乘客的平均等候时间。
随机变量X密度函数为f(x)=试求：(1)A值 (2)X的分布函数F(x) (3) E=(1/X2 ) (4) D(X)
已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)=，则X的数学期望为______；X的方差为______.
已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，即P{X=k}=2ke-2/k!,k=0,1,2,…，则随机变量Z=3X-2的期望E(Z)=________.
设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E(X+e-2X )=__________.
设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0,4)内的概率分布密度fY(y)=__________.
随机变量z ~ N(2,32)，则y=3z-2的数学期望为【 】