问答题(2021年理工数学Ⅰ

已知曲线C:,求C上的点到xoy坐标面距离的最大值.

答案解析

设拉格朗日函数L(x,y,z,λ,μ)=z2+λ(x2+2y2-z-6)+μ(4x+2y+z-30)L'x=2xλ+4μ=0L'y=4yλ+2μ=0L'z=2z-λ+μ=0x2+2y2-z=64x+2...

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讨论

求直线l:(x-1)/1=y/1=(z-1)/-1在平面π:x-y+2z-1=0上的投影直线l0的方程,并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.

计算R3中曲面(x12)/(a12 )+(x22)/(a22 )=(x32)/(a32 )与超平面x3=a3所围锥体的体积,a1,a2,a3>0.

曲面z=x+2y+ln⁡(1+x2+y2)在(0,0,0)处的切平面方程为__________.

设有直线l:及平面π:4x-2y+z-2=0,则直线l【 】

设一平面经过原点及点P(6,-3,2),且与平面4x-y+2z=8垂直,则此平面方程为______________.

设矩阵是满秩的,则直线(x-a3)/(a1-a2 )=(y-b3)/(b1-b2 )=(z-c3)/(c1-c2 )与直线(x-a1)/(a2-a3 )=(y-b1)/(b2-b3 )=(z-c1)/(c2-c3 )【 】

设空间直角坐标系中的四点A(1,1,1),B(1,2,3),C(1,2,4),D(2,3,4),则点A到平面BCD的距离d=__________.

已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积.

设(a×b)∙c=2,则[(a+b)×(b+c)]∙(c+a)=________.

2019年第一届阿里巴巴数学竞赛的优胜者们在参加集训营的时候,集体送给主办方负责人的礼物,是一个有60个全等的三角形面的多面体。从图中我们可以看到,这个多面体的表面是60个全等的空间四边形拼接而成的。 一个空间n边形是指由一个平面n边形沿若干条对角线做适当翻折(即在选定的对角线处形成适当的二面角)后得到的空间图形。两个空间图形全等指的是它们可以通过R3中的一个等距变换完全重合。一个多面体指的是一个空间有界区域,其边界可以由有限多个平面多边形沿公共边拼接而成。1. 判断题(4分) 我们知道2021=43×47.那么是否存在一个多面体,它的表面可以由43个全等的空间47边形拼接而成?2. 问答题(6分) 请对你的判断给出逻辑的解释。

在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

设X1,X2,…,Xn为来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本,Y1,Y2,…,Ym为来自均值为2θ的指数分布总体的简单随机样本,且两样本相互独立,其中θ(θ>0)是未知参数.利用样本X1,X2,…,Xn,Y1,Y2,…,Ym求θ的最大似然估计量θ ̂,并求D(θ ̂).

二次型f(x1,x2,x3 ) = (x1 + x2)2 + (x2 + x3)2 - (x3 - x1)2的正惯性指数依次为【 】

已知二次型f(x1,x2,x3 )=5x12+5x22+cx32-2x1 x2+6x1 x3-6x2 x3的秩为2.(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值;(2)指出方程f(x1,x2,x3 )=1表示何种二次曲面.

设总体X的概率密度为f(x)=,其中θ>-1是未知参数.X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.

设X1,X2为来自总体N(μ,σ2)的简单随机样本,其中σ(σ>0)是未知参数.若σ ̂=a|X1-X2 |为σ的无偏估计,则a=【 】

设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.附表:t分布表 P{t(n)≤t_p (n)}=p

设随机变量X~U(0,3),随机变量Y服从参数为2的泊松分布,且X与Y的协方差为-1,则D(2X-Y+1)=【 】

设X1,X2,⋯,Xn为来自总体N(μ1,σ2)的简单随机样本,Y1,Y2,⋯,Ym为来自总体N(μ2,2σ2)的简单随机样本,且两样本相互独立,记X ̅=1/n Xi ,Y ̅=1/m Yi ,S12=1/(n-1) (Xi-X ̅ )2 ,S22=1/(m-1) (Yi-Y ̅ )2 ,则【 】

已知二次型f(x1,x2,x3 )=2x12+3x22++3x32+2ax2 x3 (a>0)通过正交变换化成标准形f=y12+2y22+5y32,求参数a及所用的正交变换矩阵.