在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
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问答题（1991年理工数学Ⅰ）
答案解析
设所求曲线的函数为y=y(x)(y>0)，其在任一点P(x,y)处的法线方程为Y-y=-1/y(X-x),它与x轴的交点是(x+yy',0)，从而法线段PQ长度为=y,根据题意，有微分方程|y'' |/(1+y'2 )2/3 =1/(y).由于y''>0，得yy''=1+y'2，且满足初始条件：y(1)=1,y' (1)=0.此为不显含x的可降阶方程，令p=y'，有y''=...
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设A是n阶正定矩阵，E是n阶单位矩阵，证明A+E的行列式大于1.
设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3f(x)dx=f(0)，证明：在(0,1)内存在一点c，使f'(c)=0.
将函数f(x)=2+|x|(-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数1/n2 的和.
求过曲线y=-x2+1上的一点，使过该点的切线与这条曲线及x,y轴在第一象限围成图形的面积最小，最小面积是多少？
求微分方程x dy/dx=x-y满足条件 y|x=√2 =0的解.
求∫dx/(a2sin2x+b2cos2x ).( a,b是不全为零的非负常数)
已知α=(1,2,3);β=(1,1/2,1/3)，设A=αTβ，则An=__________。
与两直线及(x+1)/1=(y+2)/2=(z-1)/1都平行且过原点的平面方程为______________.
过点M(1,2,-1)且与直线垂直的平面方程是__________.
已知两条直线的方程是 l1:(x-1)/1=(y-2)/0=(z-3)/(-1);l2:(x+2)/2=(y-1)/1=z/1.则过l1且平行于l2的平面方程是____________.
曲面z=x+2y+ln(1+x2+y2)在(0,0,0)处的切平面方程为__________.
求直线l:(x-1)/1=y/1=(z-1)/-1在平面π:x-y+2z-1=0上的投影直线l0的方程，并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.
已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z=0,z=1所围成的立体体积.
计算R3中曲面(x12)/(a12 )+(x22)/(a22 )=(x32)/(a32 )与超平面x3=a3所围锥体的体积，a1,a2,a3>0.
设空间区域Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0,Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0，则【 】
设幂级数an(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处【 】
n维向量组α1,α2,…,αs (3≤s≤n)线性无关的充要条件是【 】
设∑为曲面x2+y2+z2=1的外侧，计算曲面积分I=∬∑ x3dydz+y3dzdx+z3dxdy.
设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，则事件A在每次试验中出现的概率是______.
向量场u(x,y,z)=xy2i+ye2j+xln(1+z2)k在点P(1,1,0)处的散度divu=________.