大学数学-考研试题(理工数学Ⅰ 1990年向量组的秩)

填空题（1990年理工数学Ⅰ）

已知向量组α₁=(1,2,3,4),α₂=(2,3,4,5),α₃=(3,4,5,6),α₄=(4,5,6,7)，则该向量组的秩是______.

答案解析

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讨论

大学数学

积分dxdy=__________.

设函数f(x)=，则函数f[f(x)]=__________.

设a为非零常数，则((x+a)/(x-a))x =________.

过点M(1,2,-1)且与直线垂直的平面方程是__________.

设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标准差（均方差）为√2的正态分布，而Y服从标准正态分布，试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数.

设半径为R的球面Σ的球心在定球面x2+y2+z2=a2 (a>0)上，问当R为何值时，球面Σ在定球面内部的那部分的面积最大？

假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明：(1) 1/λ为A-1的特征值；(2) |A|/λ为A的伴随矩阵A*的特征值.

问λ为何值时，线性方程组有解？并求出解的一般形式.

证明方程lnx=x/e-dx在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同实根.

设f(x)=sinx-(x-t)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(x).

向量组的秩

设向量组A:α1,α2,… ,αs可以由向量组B:β1,β2,… ,βt线性表示且R(A)=R(B).证明向量组A与向量组B等价.

设xoy在平面上n个结点Mi(xi,yi ),i=1,2,…,n(n≥3).证明：M1,M2,…,Mn在同一条直线上⟺R=2.

设α1,α2,…,αr是n维向量.令β1=α2+α3+⋯+αr,β2=α1+α3+⋯+αr,…,βr=α1+α2+⋯+αr-1.证明向量组β1,β2,…,βr与向量组α1,α2,…,αr有相同的秩.

已知同维数的两个向量组有相同的秩，且其中之一可用另外一个线性表示，证明：这两个向量组等价。

设α1=,α2=,α3=，则三条直线a1 x+b1 y+c1=0,a2 x+b2 y+c2=0,a3 x+b3 y+c3=0,(其中ai2+bi2≠0,i=1,2,3)相交于一点的充要条件是【】

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n<m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关.

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0，证明向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的.

设空间区域Ω1:x2+y2+z2≤R2,z≥0,Ω2:x2+y2+z2≤R2,x≥0,y≥0,z≥0，则【】

甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为______.

在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为 N，在 t= 0 时刻已掌握新技术的人数为x0，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人收和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k>0,求x(t).

向量组的线性相关性

已知全体实的2维向量关于下列运算构成R上的线性空间V：(a1,b1 )+(a2,b2 )=(a1+a2,b1+b2+a1 a2),k∙(a,b)=(ka,kb+(k(k-1))/2 a2).(1)求V的一组基;(2)定义变换A(a,b)=(a,a+b)，证明：A是一个线性变换；并求A在V的一组基下的矩阵表示.

已知A ̅和B ̅分别是三维空间中的矢量矩阵和单位方向矢量;A ̅=Ax+Ay+Az;( Ax=,Ay=,Az=B ̅=cosα+cosβ+cosγ;( cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1)计算矩阵求和c=k(A ̅∙B ̅)k +2k (A ̅∙B ̅)2k.提示：首先考察(A ̅∙B ̅)2=?

在P[x]4定义内积：(f(x),g(x))=f(x)g(x) dx,f(x),g(x)∈P[x]4，并定义线性变换A:Aεi=ηi,i=1,2,3,4.ε1=1/2 (1+x+x2+x3 ),η1=2x+x2-x3 ε2=1/2 (-1-x+x2+x3 ),η2=-1-x2-2x3 ε3=1/2 (-1+x-x2+x3 ),η3=-2x-x2+x3 ε4=1/2 (-1+x+x2-x3 ),η4=1-4x-x2 求A的核空间的一个标准正交基.

设A=(aij)n×n是一个由±1组成的n×n方阵(n>1).将A的n个行向量记为v1,…,vn.对于两个行行向量v=(ai)1≤i≤n与v'=(bi)1≤i≤n，定义v*v'=(aibi)1≤i≤n以及v∙v'=aibi假设：(1)对任意的i,j(1≤i,j≤n)，存在k(1≤k≤n)使得vi*vj=vk；(2)对任意的i,j(1≤i,j≤n,i≠j)， vi∙vj=0.证明：(i) A有一个行向量；对于A的另外任意一个行向量v_i，它有n/2个分量为1，n/2个分量为-1.(ii)n是2的幂.(ii)设n=2m，则可以通过重新排列A的行与列，将A变为方阵这里，X⨂m==是方阵X的m次张量积：两个方阵X=(xij)1≤i,j≤p与Y=(yi'j')1≤i',j'≤q的张量积被定义为一个pq×pq方阵X⨂Y=(zkl)1≤kl≤pq其中zkl=xijyi'j'，整数i,j,i',j'满足1≤i,j≤p,1≤i',j'<q，且由等式k=p(i'-1)+i与l=p(j'-1)+j唯一确定.

设α1=(1,0,0,3),α2=(1,1,-1,2),α3=(1,2,a-3,1),α4=(1,2,-2,a),β=(0,1,b,-1)，问a,b为何值时(1) β能由α1,α2,α3,α4线性表示且表示唯一；(2) β不能由α1,α2,α3,α4线性表示；(3) β能由α1,α2,α3,α4线性表示但表示不唯一，并求一般表达式。

设对角矩阵A的特征多项式为 φ(λ)=(λ-λi)ni （诸λi两两互异），求所有和A可交换的矩阵全体所组成的线性空间的维数.

用数学归纳法证明：对于复n维空间Vn上任意多个两两可交换的线性变换所组成的集合S具有公共的特征向量.

设R2中的内积为(α,β)=α' Aβ,A=，则,在此内积之下的度量矩阵为________.

向量组α1=(1 1 k),α2=(1 k 1),α3=(k 1 1)是线性无关的，则k=__________.

四维矢量X采用列矩阵表示为：X=,其中，矢量X的四个分量x1,x2,x3,x4满足如下条件：，试证明：这样的四维矢量X存在“无穷多个”，并可一般表示为：X=ax1+bx2+1/2 x3;其中x1=,x2=,x3=;而a,b为“任意实数”.