填空题(2004年重庆大学

设R2中的内积为(α,β)=α' Aβ,A=,则,在此内积之下的度量矩阵为________.

答案解析

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讨论

若A=相似于对角阵,则a与b的关系为________.

若不可约多项式p(x)是f(k)(x)的s重因子,且p(x)|f(x),那么p(x)________ f(x)的s+k重因子.

三阶方阵A的特征值为1,-1,2,则A2+4A-1的特征值=________.

设γ1,γ2,α,β皆为三维列向量,A=(α,3γ1,3γ2 ),B=(β,γ1,2γ2)且|A|=18,|B|=4,则|A-B|=________.

三阶行列式有2个元素为4,其余为±1,则此行列式可能的最大值为________.

已知矩阵:A=,B=,C= 计算:(cosα∙A+cosβ∙B+cosγ∙C)3=?其中,cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1,cosα+2cosβ+3cosγ=√3/3.提示:设E=,并引入三个矩阵:A'=A-E,B'=B-2E,C'=C-3E [注意:(cosα∙A'+cosβ∙B'+cosγ∙C')2=?]后,再作计算.

已知四维实矢量空间的矢量(表示成矩阵):=,满足如下条件:以及T∙=9/4(其中,T表示对矩阵取置换),试求出所有这样的四维实矢量的集合:{ }=?

由曲线y=y(x)=(-√3<x≤0)和射线y=-√3 x(x≤0),以及由曲线y=y(x)=(-√3<x≤0)和射线y=-√3 x(x≤0),直线x=-√3围成了两块平面图形F1和F2(其中,F1的边界长度为有限值,而F2的边界长度为无穷大).(1)计算出平面图形F1的面积S1=?(2)计算出平面图形F2的面积S2=?提示:采用平面极坐标(r,θ)作计算较为简单.[不定积分公式:∫tg2θdθ=tgθ-θ+C可直接引用]

设曲面:z=z(x,y)=x4+1/2 (√5-4y)∙x2+y2,柱壁面:y=x2-5/9,圆柱体:x2+y2≤1,在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”:G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”:,[t∈T;(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”:L=?提示:(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面:y=x2-5/9与圆柱面:x2+y2=1满足相交或满足相切?[不定积分公式:∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

已知一个二元实变函数:z=f(x,y)=sin2x - sinx∙cosy+cos2y;[其中,(x,y)∈全平面].(1)求出函数z=f(x,y)在其定义域里的最小值:zmin=?并指出在其定义域何点处,函数z=f(x,y)获得最小值zmin?(2)求出函数z=f(x,y)在其定义域里的最大值:zmax=?并指出在其定义域何点处,函数z=f(x,y)取得最大值zmax?提示:首先,可作变量变换:X=sinx,Y=cosy;然后,考虑关于X和Y的二元实变函数z=F(X,Y).

设A=(aij)n×n是一个由±1组成的n×n方阵(n>1).将A的n个行向量记为v1,…,vn.对于两个行行向量v=(ai)1≤i≤n与v'=(bi)1≤i≤n,定义v*v'=(aibi)1≤i≤n以及v∙v'=aibi假设:(1)对任意的i,j(1≤i,j≤n),存在k(1≤k≤n)使得vi*vj=vk;(2)对任意的i,j(1≤i,j≤n,i≠j), vi∙vj=0.证明:(i) A有一个行向量;对于A的另外任意一个行向量v_i,它有n/2个分量为1,n/2个分量为-1.(ii)n是2的幂.(ii)设n=2m,则可以通过重新排列A的行与列,将A变为方阵这里,X⨂m==是方阵X的m次张量积:两个方阵X=(xij)1≤i,j≤p与Y=(yi'j')1≤i',j'≤q的张量积被定义为一个pq×pq方阵X⨂Y=(zkl)1≤kl≤pq其中zkl=xijyi'j',整数i,j,i',j'满足1≤i,j≤p,1≤i',j'<q,且由等式k=p(i'-1)+i与l=p(j'-1)+j唯一确定.

设对角矩阵A的特征多项式为 φ(λ)=(λ-λi)ni (诸λi两两互异),求所有和A可交换的矩阵全体所组成的线性空间的维数.

用数学归纳法证明:对于复n维空间Vn上任意多个两两可交换的线性变换所组成的集合S具有公共的特征向量.

设α1=(1,0,0,3),α2=(1,1,-1,2),α3=(1,2,a-3,1),α4=(1,2,-2,a),β=(0,1,b,-1),问a,b为何值时(1) β能由α1,α2,α3,α4线性表示且表示唯一;(2) β不能由α1,α2,α3,α4线性表示;(3) β能由α1,α2,α3,α4线性表示但表示不唯一,并求一般表达式。

已知全体实的2维向量关于下列运算构成R上的线性空间V:(a1,b1 )+(a2,b2 )=(a1+a2,b1+b2+a1 a2),k∙(a,b)=(ka,kb+(k(k-1))/2 a2).(1)求V的一组基;(2)定义变换A(a,b)=(a,a+b),证明:A是一个线性变换;并求A在V的一组基下的矩阵表示.

设A是n维线性空间V的线性变换,则V=ImA⊕KerA.

已知A ̅和B ̅分别是三维空间中的矢量矩阵和单位方向矢量;A ̅=Ax+Ay+Az;( Ax=,Ay=,Az=B ̅=cosα+cosβ+cosγ;( cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1)计算矩阵求和c=k(A ̅∙B ̅)k +2k (A ̅∙B ̅)2k.提示:首先考察(A ̅∙B ̅)2=?

在P[x]4定义内积:(f(x),g(x))=f(x)g(x) dx,f(x),g(x)∈P[x]4,并定义线性变换A:Aεi=ηi,i=1,2,3,4.ε1=1/2 (1+x+x2+x3 ),η1=2x+x2-x3 ε2=1/2 (-1-x+x2+x3 ),η2=-1-x2-2x3 ε3=1/2 (-1+x-x2+x3 ),η3=-2x-x2+x3 ε4=1/2 (-1+x+x2-x3 ),η4=1-4x-x2 求A的核空间的一个标准正交基.

设B是秩为2的5×4矩阵,α1=(1,1,2,3)T,α2=(-1,1,4,-1)T,α3=(5,-1,-8,9)T是齐次线性方程组Bx=0的解向量,求Bx=0的解空间的一个标准正交基.

设R^3上的线性变换A(x)=x,则α=生成的A-循环不变空间的维数为________.