大学数学-考研试题(重庆大学 2005年向量组的秩)

证明题（2005年重庆大学）

设向量组A:α₁,α₂,… ,α_s可以由向量组B:β₁,β₂,… ,β_t线性表示且R(A)=R(B).证明向量组A与向量组B等价.

答案解析

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讨论

大学数学

在P[x]4定义内积：(f(x),g(x))=f(x)g(x) dx,f(x),g(x)∈P[x]4，并定义线性变换A:Aεi=ηi,i=1,2,3,4.ε1=1/2 (1+x+x2+x3 ),η1=2x+x2-x3 ε2=1/2 (-1-x+x2+x3 ),η2=-1-x2-2x3 ε3=1/2 (-1+x-x2+x3 ),η3=-2x-x2+x3 ε4=1/2 (-1+x+x2-x3 ),η4=1-4x-x2 求A的核空间的一个标准正交基.

设A=,B=且A与B相似.(1)求α,β的值;(2)求可逆阵P使P-1 AP=B.

设f(x)=x3+6x2+3px+8，试确定p的值使f(x)有重根并求其根.

当λ,μ为何值时，方程组有惟一解？无解？有无穷解？无穷解时并求其全解.

重庆大学克拉默法则

已知A ̅和B ̅分别是三维空间中的矢量矩阵和单位方向矢量;A ̅=Ax+Ay+Az;( Ax=,Ay=,Az=B ̅=cosα+cosβ+cosγ;( cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1)计算矩阵求和c=k(A ̅∙B ̅)k +2k (A ̅∙B ̅)2k.提示：首先考察(A ̅∙B ̅)2=?

四维矢量X采用列矩阵表示为：X=,其中，矢量X的四个分量x1,x2,x3,x4满足如下条件：，试证明：这样的四维矢量X存在“无穷多个”，并可一般表示为：X=ax1+bx2+1/2 x3;其中x1=,x2=,x3=;而a,b为“任意实数”.

设曲面：z=z(x,y)=(y-x2)2+√5/2 x2，柱壁面：9y-9x2+5=0，圆柱体：x2+y2≤1，在三维空间O-XYZ中的“点的集合”分别为G1,G2,G3.(1)说明“点集”：G=G1∩G2∩G3构成了在三维空间O-XYZ中的有限长度的曲线L.(2)采用“参数方程”：，[t∈T；(T为参变数t的“取值集合”)]表示出曲线L.(3)计算曲线L的“总长度”：L=？提示：(i)选择参变数t=x,(ii)考虑柱壁面：y=x2-5/9与圆柱面：x2+y2=1满足相交或满足相切？[不定积分公式：∫dx=x/2 +a2/2 ln⁡(x+)+C可直接引用]

计算二重积分：∬Dds其中，积分区域D为曲线y(x)=与直线y=0所围成的区域.提示：①首先考察曲线y=y(x)⟹F(x,y)=0为何种曲线，②然后采用“平面极坐标”方法作计算？

已知二元函数z=z(x,y)：z(x,y)=1/4[4(tgx+tgy)2 - 12tgx∙tgy - 3]，试求：二元函数z=z(x,y)在正方形区域：D ̅:-π/4≤x≤π/4,-π/4≤y≤π/4 里的最大值zmax=?和最小值zmin=?，并指出二元函数z=z(x,y)在闭区域D ̅里何点处取得最大值zmax和最小值zmin?

向量组的秩

设α1,α2,…,αr是n维向量.令β1=α2+α3+⋯+αr,β2=α1+α3+⋯+αr,…,βr=α1+α2+⋯+αr-1.证明向量组β1,β2,…,βr与向量组α1,α2,…,αr有相同的秩.

已知同维数的两个向量组有相同的秩，且其中之一可用另外一个线性表示，证明：这两个向量组等价。

设α1=,α2=,α3=，则三条直线a1 x+b1 y+c1=0,a2 x+b2 y+c2=0,a3 x+b3 y+c3=0,(其中ai2+bi2≠0,i=1,2,3)相交于一点的充要条件是【】

设xoy在平面上n个结点Mi(xi,yi ),i=1,2,…,n(n≥3).证明：M1,M2,…,Mn在同一条直线上⟺R=2.

设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n<m，E是n阶单位矩阵，若AB=E，证明B的列向量组线性无关.

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0，证明向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的.

已知向量组α1=(1,2,3,4),α2=(2,3,4,5),α3=(3,4,5,6),α4=(4,5,6,7)，则该向量组的秩是______.

求不定积分∫(ln⁡(1+x2))/x3 dx

定义函数f(x)在[a,b]可积时，必须选假定f(x)在[a,b]上有界.

设A=是实数域上的矩阵，证明：(1)如果|aii|>∑j≠i|aij|,i=1,2,…,n则|A|≠0;(2)如果aii>∑j≠i|aij|,i=1,2,…,n则|A|>0.

向量组的线性相关性

设A=(aij)n×n是一个由±1组成的n×n方阵(n>1).将A的n个行向量记为v1,…,vn.对于两个行行向量v=(ai)1≤i≤n与v'=(bi)1≤i≤n，定义v*v'=(aibi)1≤i≤n以及v∙v'=aibi假设：(1)对任意的i,j(1≤i,j≤n)，存在k(1≤k≤n)使得vi*vj=vk；(2)对任意的i,j(1≤i,j≤n,i≠j)， vi∙vj=0.证明：(i) A有一个行向量；对于A的另外任意一个行向量v_i，它有n/2个分量为1，n/2个分量为-1.(ii)n是2的幂.(ii)设n=2m，则可以通过重新排列A的行与列，将A变为方阵这里，X⨂m==是方阵X的m次张量积：两个方阵X=(xij)1≤i,j≤p与Y=(yi'j')1≤i',j'≤q的张量积被定义为一个pq×pq方阵X⨂Y=(zkl)1≤kl≤pq其中zkl=xijyi'j'，整数i,j,i',j'满足1≤i,j≤p,1≤i',j'<q，且由等式k=p(i'-1)+i与l=p(j'-1)+j唯一确定.

设对角矩阵A的特征多项式为 φ(λ)=(λ-λi)ni （诸λi两两互异），求所有和A可交换的矩阵全体所组成的线性空间的维数.

用数学归纳法证明：对于复n维空间Vn上任意多个两两可交换的线性变换所组成的集合S具有公共的特征向量.

设A是n×n实对称矩阵，证明：存在一个实数k使得对任意一个实n维向量x都有|x' Ax|≤kx'x，其中x'表示向量x的转置.

设R2中的内积为(α,β)=α' Aβ,A=，则,在此内积之下的度量矩阵为________.

向量组α1=(1 1 k),α2=(1 k 1),α3=(k 1 1)是线性无关的，则k=__________.

已知全体实的2维向量关于下列运算构成R上的线性空间V：(a1,b1 )+(a2,b2 )=(a1+a2,b1+b2+a1 a2),k∙(a,b)=(ka,kb+(k(k-1))/2 a2).(1)求V的一组基;(2)定义变换A(a,b)=(a,a+b)，证明：A是一个线性变换；并求A在V的一组基下的矩阵表示.

设α1=(1,0,0,3),α2=(1,1,-1,2),α3=(1,2,a-3,1),α4=(1,2,-2,a),β=(0,1,b,-1)，问a,b为何值时(1) β能由α1,α2,α3,α4线性表示且表示唯一；(2) β不能由α1,α2,α3,α4线性表示；(3) β能由α1,α2,α3,α4线性表示但表示不唯一，并求一般表达式。

已知四维实矢量空间的矢量（表示成矩阵）：=,满足如下条件：以及T∙=9/4（其中，T表示对矩阵取置换），试求出所有这样的四维实矢量的集合：{ }=?

设α1=,α2=,α3=,α4=，若向量组α1,α2,α3与α1,α2,α4等价，则λ的取值范围是【】